Гидродинамика. Мазо А.Б - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

- 109 -
iii
ii i i
TTT T
uuu u
x
xxx
′
′
∂∂∂ ∂
′′
++ +
∂∂∂ ∂
При осреднении (11.2) уравнения (11.9) слагаемые с линейными
вхождениями пульсаций, как и при выводе уравнений Рейнольдса,
обратятся в ноль. В результате получим
ii
ii
TT T
uaTu
tx x
φ
′
∂∂ ∂
′
+=Δ−+
∂∂ ∂
. (11.10)
Используя уравнение неразрывности для пульсаций скорости, можем
представить нелинейный член справа в виде дивергенции турбулентного
потока тепла
(
)
/
ii
uT x
′′
∂∂. В отличие от молекулярного потока Фурье
/
ii
qTx
λ
=− ∂ ∂ этот поток имеет конвективную природу: пульсация
температуры T
′
переносится пульсацией скорости
i
u
′
.
Если умножить уравнение (11.10) на c
ρ
и вернуться от оператора
Лапласа к дивергенции теплового потока q
, получим осредненное
уравнение конвективной теплопроводности при турбулентном течении
ii
iii
TT T
cu cuTf
txxx
ρλρ
⎛⎞⎛ ⎞
∂∂∂∂
′′
+= − +
⎜⎟⎜ ⎟
∂∂∂∂
⎝⎠⎝ ⎠
. (11.11)
По аналогии с тем, как был введен коэффициент турбулентной вязкости в
уравнениях Рейнольдса, можно ввести коэффициент турбулентной
теплопроводности
T
λ
выразив пульсационный поток
T
ii
qcuT
ρ
′′
=− через
градиент среднего температурного поля:
iT
i
T
cuT
x
ρλ
∂
′′
=−
∂
(11.12)
Подставив (11.12) в (11.10), опуская черту над средними и вновь деля на
c
ρ
, окончательно получим уравнение для средней температуры
()
iT
ii i
TT T
uaa
txx x
φ
⎡
⎤
∂∂∂ ∂
+= + +
⎢
⎥
∂∂∂ ∂
⎣
⎦
. (11.13)
Здесь
T
a – турбулентная температуропроводность. Обычно используют
турбулентное число Прандля, чтобы выразить
T
a через вихревую вязкость
T
ν
: 
                     ∂T       ∂T       ∂T ′       ∂T ′
                         + u′
                        ui        + ui      + ui′
                     ∂xi      ∂xi      ∂xi        ∂xi
При осреднении (11.2) уравнения (11.9) слагаемые с линейными
вхождениями пульсаций, как и при выводе уравнений Рейнольдса,
обратятся в ноль. В результате получим
                    ∂T      ∂T               ∂T ′
                       + ui     = a ΔT − ui′      +φ .    (11.10)
                    ∂t      ∂xi              ∂xi
Используя уравнение неразрывности для пульсаций скорости, можем
представить нелинейный член справа в виде дивергенции турбулентного

потока тепла ∂ ( ui′T ′) / ∂xi . В отличие от молекулярного потока Фурье

qi = −λ∂T / ∂xi   этот поток имеет конвективную природу: пульсация
температуры T ′ переносится пульсацией скорости ui′ .
       Если умножить уравнение (11.10) на cρ и вернуться от оператора
Лапласа к дивергенции теплового потока q , получим осредненное
уравнение конвективной теплопроводности при турбулентном течении
                   ⎛ ∂T      ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T                   ⎞
                cρ ⎜    + ui     ⎟=     ⎜λ     − cρ ui′T ′ ⎟ + f . (11.11)
                   ⎝ ∂t      ∂xi ⎠  ∂xi ⎝  ∂xi             ⎠
По аналогии с тем, как был введен коэффициент турбулентной вязкости в
уравнениях Рейнольдса, можно ввести коэффициент турбулентной
теплопроводности λT выразив пульсационный поток qiT = − cρ ui′T ′ через
градиент среднего температурного поля:
                                         ∂T
                             cρ ui′T ′ = −λT                     (11.12)
                                         ∂xi
Подставив (11.12) в (11.10), опуская черту над средними и вновь деля на
cρ , окончательно получим уравнение для средней температуры

                    ∂T       ∂T   ∂ ⎡            ∂T ⎤
                        + ui    =    ⎢ ( a + aT ) ⎥ + φ .    (11.13)
                     ∂t      ∂xi ∂xi ⎣           ∂xi ⎦
Здесь aT   – турбулентная температуропроводность. Обычно используют
турбулентное число Прандля, чтобы выразить aT через вихревую вязкость
νT :

                                                                   - 109 -

Страницы