Гидродинамика. Мазо А.Б - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

- 108 -
j
i
ij T ij T
j
i
u
u
e
x
x
τμ μ
⎛⎞
∂
∂
== +
⎜⎟
⎜⎟
∂
∂
⎝⎠
. (11.6)
Здесь коэффициент
T
μ
называется турбулентной вязкостью, который в
отличие от молекулярной вязкости
μ
не является свойством жидкости, в
зависит от особенностей турбулентного течения. Определение
турбулентной вязкости
T
μ
через средние характеристики потока
составляет предмет т.н. полуэмпирических моделей турбулентности.
Тем не менее, выражение (11.6) можно подставить в уравнения (3.5).
При этом мы используем равенства
()
/, div grad
TT
j
j
u
uu
x
x
μρν ν ν
⎛⎞
∂
∂
=Δ= =
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
и получаем окончательно уравнения Рейнольдса в виде
()
1
;
0;
ii i
jT
jij j
i
i
uu u
p
ug
tx xx x
u
x
νν
ρ
⎡⎤
∂∂ ∂
∂∂
+
=− + + +
⎢⎥
∂∂ ∂∂ ∂
⎢⎥
⎣⎦
∂
=
∂
(11.7)
Простейшим способом замыкания уравнений (11.7) является модель
пути смешения Прандтля, которую для внутренних течений можно
сформулировать так:
2
,, ,
j
i
Tijijij
ji
u
u
le e ee e l y
xx
ν
κ
∂
∂
===+=
∂∂
, (11.8)
где l – длина пути смешения, e - тензор скоростей деформаций, 0.4
κ
≈ –
постоянная Прандтля, y – расстояние до стенки.
Осредненное уравнение конвективной теплопроводности
Температурное поле в турбулентном потоке тоже испытывает пульсации:
TTT
′
=+. Если подставить это разложение в линейное уравнение
теплопроводности, получим
()
()
ii
i
TT
u u T T aT aT
tt x
φ
′
∂∂ ∂
′
′′
+++ +=Δ+Δ+
∂∂ ∂
. (11.9)
Раскроем скобки в конвективном члене. 
                                             ⎛ ∂ui ∂u j ⎞
                                τ ij = μT eij = μT ⎜
                                                  +     ⎟⎟ .            (11.6)
                                             ⎜ ∂x   ∂x
                                             ⎝ j      i ⎠

Здесь коэффициент μT             называется турбулентной вязкостью, который в
отличие от молекулярной вязкости μ не является свойством жидкости, в
зависит      от    особенностей            турбулентного     течения.         Определение
турбулентной вязкости               μT    через средние характеристики потока
составляет предмет т.н. полуэмпирических моделей турбулентности.
       Тем не менее, выражение (11.6) можно подставить в уравнения (3.5).
При этом мы используем равенства
                                                ⎛ ∂u        ∂          ⎞
                  ν T = μT / ρ , νΔu = div (ν grad u ) =
                                                ⎜⎜ν                    ⎟⎟
                                                 ⎝ ∂x j    ∂x j         ⎠
и получаем окончательно уравнения Рейнольдса в виде

                   ∂ui     ∂u     1 ∂p   ∂ ⎡               ∂ui ⎤
                       + uj i = −      +      ⎢ (ν + ν   )       ⎥ + g;
                                  ρ ∂xi ∂x j ⎣⎢
                                                       T
                   ∂t      ∂x j                            ∂x j ⎦⎥
                                                                                    (11.7)
               ∂ui
                   = 0;
               ∂xi
       Простейшим способом замыкания уравнений (11.7) является модель
пути смешения Прандтля, которую для внутренних течений можно
сформулировать так:
                                        ∂ui ∂u j
                  νT = l2 e ,                    , l =κy,
                                  e = eij eij , eij =
                                            +                    (11.8)
                                        ∂x j ∂xi
где l – длина пути смешения, e - тензор скоростей деформаций, κ ≈ 0.4 –
постоянная Прандтля, y – расстояние до стенки.


       Осредненное уравнение конвективной теплопроводности

Температурное поле в турбулентном потоке тоже испытывает пульсации:
T = T + T ′ . Если подставить это разложение в линейное уравнение
теплопроводности, получим
             ∂T ∂T ′                  ∂
             ∂t
                +
                   ∂t
                      + ( ui + ui′ )
                                     ∂xi
                                         ( T + T ′ ) = a ΔT + a Δ T ′ + φ .         (11.9)

Раскроем скобки в конвективном члене.
- 108 -

Страницы