Гидродинамика. Мазо А.Б - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

- 117 -
Пусть Db w
⇒
⋅=
. Тогда
302 0 12
0402 8
050 6 10
x
y
z
w
w
w
−
⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞⎛ ⎞
⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟
=− =−
⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟
−−−
⎝⎠⎝ ⎠⎝⎠⎝ ⎠
.
Пусть aDb vb
λ
⇒
⋅⋅=⋅=


. Тогда
()
0
9; 20; 6 2 76
6
λ
⎛⎞
⎜⎟
=− =−
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
.
Решение задачи 2.3
. Изменение содержания вещества сплошной
среды за единицу времени в объеме V есть разность между втекшим и
вытекшим через ограничивающую объем поверхность количеством
данного вещества. Это изменение может быть вычислено с
использованием формулы Остроградского-Гаусса:
div
n
SV
dM v dS v dV==
∫
∫
.
В рамках заданных условий это уравнение запишется в виде:
()
()
()
222 22 22
2
1
111 11 11
2
230 3 22 0
zyx zy zy
x
x
zyx zy zy
dM x dxdydz x x dydz dydz=−+ =− =−+=
∫∫∫ ∫∫ ∫∫
.
Таким образом, для заданного поля скоростей в любой части полосы,
ограниченной плоскостями 1
x
=
и 2
x
=
, изменения количества вещества
не происходит.
Решение задачи 3.2
. Компоненты напряжения в точке P принимают
значения
65 0
5023
023 0
⎛⎞
⎜⎟
Σ=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
.
Единичный вектор нормали в точке P определяется вектором
)
22
grad 4 2 2yz yj zk
ϕ
=∇ + − = +
.
Следовательно, в точке P 
        ⇒
Пусть D ⋅ b = w . Тогда

                           ⎛ wx ⎞ ⎛ 3 0 2 ⎞⎛ 0 ⎞ ⎛ −12 ⎞
                           ⎜ w ⎟ = ⎜ 0 −4 0 ⎟⎜ 2 ⎟ = ⎜ −8 ⎟ .
                           ⎜ y⎟ ⎜           ⎟⎜ ⎟ ⎜        ⎟
                           ⎜ w ⎟ ⎜ 0 −5 0 ⎟⎜ −6 ⎟ ⎜ −10 ⎟
                           ⎝ z⎠ ⎝           ⎠⎝ ⎠ ⎝        ⎠
             ⇒
Пусть a ⋅ D ⋅ b = v ⋅ b = λ . Тогда

                                                 ⎛ 0⎞
                              λ = ( 9; − 20;6 ) ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = −76 .
                                                 ⎜ −6 ⎟
                                                 ⎝ ⎠
       Решение задачи 2.3. Изменение содержания вещества сплошной
среды за единицу времени в объеме V есть разность между втекшим и
вытекшим через ограничивающую объем поверхность количеством
данного        вещества.     Это     изменение            может   быть     вычислено        с
использованием формулы Остроградского-Гаусса:

                             dM = ∫ vn dS = ∫ div v dV .
                                     S                V

В рамках заданных условий это уравнение запишется в виде:
         z2 y2 x2                        z 2 y2                   z 2 y2

  dM = ∫ ∫ ∫ ( 2 x − 3 + 0 ) dx dy dz = ∫ ∫ ( x − 3x ) dy dz = ∫ ∫ ( −2 + 2 ) dy dz = 0 .
                                                           x2
                                                  2
                                                           x1
         z1 y1 x1                        z1 y1                    z1 y1


Таким образом, для заданного поля скоростей в любой части полосы,
ограниченной плоскостями x = 1 и x = 2 , изменения количества вещества
не происходит.
       Решение задачи 3.2. Компоненты напряжения в точке P принимают
значения
                                       ⎛6  5   0 ⎞
                                       ⎜          ⎟
                                   Σ = ⎜5  0  2 3⎟.
                                       ⎜0 2 3
                                       ⎝       0 ⎟⎠
Единичный вектор нормали в точке P определяется вектором
                       grad ϕ = ∇ ( y 2 + z 2 − 4 ) = 2 y j + 2 z k .

Следовательно, в точке P
                                                                                   - 117 -

Страницы