Гидродинамика. Мазо А.Б - 118 стр.

                               ∇ϕ = 2 j + 2 3 k .

Тогда единичный вектор нормали в точке P есть n = j 2 + 3 k 2 . Вектор
напряжения на площадке, перпендикулярной к n в точке P , равен
                     ⎛6  5   0 ⎞⎛ 0 ⎞ ⎛ 5/ 2 ⎞
                     ⎜          ⎟⎜      ⎟ ⎜     ⎟
                     ⎜5  0  2 3 ⎟⎜ 1/ 2 ⎟ = ⎜ 3 ⎟ .
                     ⎜          ⎟⎜
                     ⎝0 2 3  0 ⎠ ⎝ 3 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⎟⎠
        Решение задачи 4.1. Для определения функции давления следует
записать уравнения Навье-Стокса для соответствующей модели сплошной
среды
                      ∂u   ∂u    ∂u    1 ∂p
                         +u +v      =−      + νΔu,
                      ∂t   ∂x    ∂y    ρ ∂x
                      ∂v   ∂v    ∂v    1 ∂p
                         +u +v = −          + νΔv,
                      ∂t   ∂x    ∂y    ρ ∂y
                      ∂u ∂v
                         +  = 0.
                      ∂x ∂y
Последнее уравнение, являющееся выражением закона неразрывности для
несжимаемой жидкости выполняется автоматически для заданного поля
скоростей. Два первых уравнения перепишутся в виде
                                   ∂p
                                      = − 4 ρ x,
                                   ∂x
                                   ∂p
                                      = − 4 ρ y,
                                   ∂y
откуда можно записать выражение полного дифференциала давления
                          dp = − 2 ρ ( 2 x dx + 2 y dy ) .
Из последнего выражения найдем функцию давления
                       p ( x, y ) = − 2 ρ ( x 2 + y 2 ) + const .

        Решение задачи 5.1. Уравнение неразрывности для несжимаемой
жидкости имеет вид div u = 0 или ∂ ui ∂ xi = 0 . В данном случае




- 118 -