Гидродинамика. Мазо А.Б - 119 стр.

            ∂u     ⎡ −4 x ( x 2 − y 2 ) 2 x ⎤          ∂v    ⎡ 2 x 8 x y2 ⎤
               = A⎢                    + 4 ⎥,             = A⎢ 4 − 6 ⎥ .
            ∂x    ⎢⎣        r6          r ⎥            ∂y    ⎣r      r ⎦
                                            ⎦
                               ∂u ∂v
Складывая, получаем:             +   = 0 . Таким образом, заданное поле
                               ∂x ∂y
скоростей    удовлетворяет           уравнению         неразрывности            несжимаемой
жидкости.
    Для безвихревого течения необходимо выполнение условия rot u = 0 .
Проверяем и видим для данного случая:

                            i                   j         k
                            ∂                  ∂          ∂
            rot u =                                          =
                            ∂x                 ∂y         ∂z
                      A( x2 − y 2 ) r 4    2A x y r4       0

            = A ⎡⎣ 2 y r 4 − 8 x 2 y r 6 + 2 y r 4 + 2 y ( x 2 − y 2 ) r 6 ⎤⎦ k = 0

     Решение задачи 5.4. Из определений функции тока и линий тока
следует, что линии тока в данный момент времени t являются решениями
дифференциальных уравнений:
                                      dx dy dz
                                        =   = .
                                      u   v  w
В случае плоских течений остается одно дифференциальное уравнение:
                                          dx dy
                                            = ,
                                          u   v
которое для данной задачи приводится к виду:
                                       dx   dy
                                          =     .
                                       K x −K y
Решением данного уравнения является зависимость x y = C – уравнение
гиперболы. Различные значения постоянной C будут соответствовать
различным линиям тока (рис. 2). Направление течения можно определить
по заданным скоростям. Предполагая K положительным параметром,
получим, что при положительных значениях y компонента v = − K y

                                                                                      - 119 -