Гидродинамика. Мазо А.Б - 29 стр.

                    Лекция 4.
   ЗАМКНУТЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ

Уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости

       Плотность несжимаемой жидкости постоянна, в математической
модели она выступает как заданный параметр. Уравнение неразрывности
при этом имеет вид
                                                    ∂vi
                                 div v = 0, или         = 0.                          (4.1)
                                                    ∂xi
       Уравнения Навье, или уравнения движения в напряжениях (3.14),
после подстановки в них закона трения Стокса (3.15) преобразуются к
виду
                   ∂ vi     ∂v     1 ∂p 1 ∂μ eij
                        + vj i = −      +        + gi , i = 1, 2,3                    (4.2)
                    ∂t      ∂v j   ρ ∂xi ρ ∂x j
Если вязкость постоянна, то член, выражающий дивергенцию вязких
напряжений можно записать так:

        1 ∂μ eij     ∂      ⎛ ∂vi ∂v j ⎞       ∂ ∂vi        ∂ ∂v j              ∂ ∂v j
                 =ν        ⎜⎜     +    ⎟⎟ = ν           +ν          = νΔvi + ν
        ρ ∂x j      ∂x j    ⎝ ∂x j ∂xi ⎠      ∂x j ∂x j    ∂x j ∂xi            ∂xi ∂x j

Но последнее слагаемое равно нулю из-за уравнения неразрывности (4.1),
поэтому из (4.2) получаем уравнения Навье-Стокса для несжимаемой
жидкости
                     ∂ vi     ∂v     1 ∂p
                          + vj i = −       + νΔvi + gi , i = 1, 2,3                   (4.3)
                      ∂t      ∂v j   ρ ∂xi
Здесь
                                    ∂ ∂u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
                              Δu =        =    +    +
                                   ∂xi ∂xi ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
- оператор Лапласа.
Система уравнений (4.1), (4.3) замкнута, т.к. она содержит 4 уравнения
для трёх компонент скорости и давления.


                                                                                     - 29 -