Гидродинамика. Мазо А.Б - 33 стр.

Поясним     природу        этого     тензора       на    примере         теплопроводности
композитных (т.е. составленных из частей с разными теплофизическими
свойствами) твердых тел. Если однородные компоненты композита имеют
разную теплопроводность и входят в состав тела с определенным
геометрическим «рисунком», то средние теплофизические свойства такого
композитного тела на удастся задать одной скалярной функцией,
необходимо        использовать          тензор.         Компонента           λij    означает

теплопроводность через площадку с нормалью i при тепловом потоке в
направлении j . Пример – слоистые композиты. Если направления слоев
совпадают     с    направлением           осей      координат,        то     тензор    будет
диагональным.
Как и для уравнения импульсов, уравнение неразрывности позволяет
записать левую часть уравнения (4.6) в виде субстанциональной
производной удельной энтальпии h . Заметим, что
        ∂ (ρh)     ∂h       ∂ρ
                  =ρ    +h      ; ∇ ( ρ hv ) = h div ( ρ v ) + ρ v ⋅ grad h ⇒
           ∂t       ∂t       ∂t
        ∂ (ρh)                   ∂h                     ⎧ ∂ρ                ⎫
               + ∇ ( ρ hv ) = ρ     + ρ v ⋅ grad h + h ⎨      + div ( ρ v ) ⎬ .
           ∂t                    ∂t                     ⎩ ∂t                ⎭
Последнее     выражение          в    фигурных          скобках      –      это    уравнение
неразрывности, оно равно нулю. Поэтому при h = cT получаем
                       ⎧ ∂ ( cT )                ⎫
                   ρ⎨             + ( v ⋅ ∇ ) cT ⎬ = div ( λ grad T ) + f               (4.8)
                       ⎩ ∂t                      ⎭
     Если теплофизические свойства среды постоянны ( ρ , c, λ = const ), то
из (4.8) получаем уравнение конвективной теплопроводности
                              dT ∂T        ∂T
                                 =    + vi     = a ΔT + φ                               (4.9)
                              dt   ∂t      ∂xi

где a = λ /(cρ ), м 2 / с – коэффициент температуропроводности, φ = f / cρ .
     Уравнение (4.9) вместе с тремя уравнениями Навье-Стокса (4.5) и
уравнением неразрывности (4.4) образуют замкнутую систему уравнений
для математического описания нестационарных трехмерных течений и

                                                                                       - 33 -