Гидродинамика. Мазо А.Б - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

- 39 -
1
,
1
0,
0.
up
uu
xx
p
y
u
x
ν
ρ
ρ
∂
∂
=
−+Δ
∂∂
∂
−=
∂
∂
=
∂
(4.20)
Из уравнения неразрывности следует, что скорость не зависит от
x
,
конвективный член равен нулю, а оператор Лапласа превращается в
22
/uy
ν
∂∂. В результате получаем уравнение
2
2
1up
x
y
ν
ρ
∂
∂
=
∂
∂
. (4.21)
Левая часть уравнения (4.21) не зависит от
x
, значит и правая часть тоже
не зависит от
x
. Более того, из второго уравнения (4.20) следует, что
давление не зависит и от
y , т.е. /
x
∂
∂ - это константа. Обозначим
11
p
dp
C
x
dx
νρ μ
∂
−= =
∂
(4.22)
и запишем уравнение (37) в виде
2
2
du
C
dy
=
− .
Общее решение этого дифференциального уравнения – это парабола
2
() 0.5uy Cy ay b
=
−++. (4.23)
Произвольные постоянные ,ab определим с помощью граничных условий
прилипания (4.12) на стенках канала
:0;yHu
=
±=
Получаем систему уравнений
2
2
() 0.5 0
()0.5 0
uH CH aH b
uH CH aHb
⎧
=
−++=
⎪
⎨
−=− − +=
⎪
⎩
Вычитая второе уравнение из первого, находим 0a = , поэтому
2
0.5bCH= . 
                              ∂u     1 ∂p
                            u    =−       + ν Δu ,
                              ∂x     ρ ∂x
                              1 ∂p
                            −       = 0,                               (4.20)
                              ρ ∂y
                            ∂u
                               = 0.
                            ∂x
     Из уравнения неразрывности следует, что скорость не зависит от x ,
конвективный член равен нулю, а оператор Лапласа превращается в
ν∂ 2u / ∂y 2 . В результате получаем уравнение
                                      ∂ 2u       1 ∂p
                                  ν          =        .                (4.21)
                                      ∂y 2       ρ ∂x
Левая часть уравнения (4.21) не зависит от x , значит и правая часть тоже
не зависит от x . Более того, из второго уравнения (4.20) следует, что
давление не зависит и от y , т.е. ∂p / ∂x - это константа. Обозначим
                                       1 ∂p 1 dp
                             −C =          =                           (4.22)
                                      νρ ∂x μ dx
и запишем уравнение (37) в виде
                                      d 2u
                                             = −C .
                                      dy 2
Общее решение этого дифференциального уравнения – это парабола
                           u( y ) = −0.5Cy 2 + ay + b .                (4.23)
Произвольные постоянные a, b определим с помощью граничных условий
прилипания (4.12) на стенках канала
                                y = ± H : u = 0;
Получаем систему уравнений
                       ⎧⎪u( H ) = −0.5CH 2 + aH + b = 0
                        ⎨                  2
                        ⎪⎩u( − H ) = −0.5CH − aH + b = 0
Вычитая второе уравнение из первого, находим               a = 0 , поэтому
b = 0.5CH 2 .


                                                                       - 39 -

Страницы