Гидродинамика. Мазо А.Б - 73 стр.

                     Лекция 8.
    ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ.
             ИНТЕГРАЛ КОШИ-ЛАГРАНЖА

     Рассмотрим уравнение Громеки – Ламба

                 ∂v        ⎛ v2 ⎞            1
                    + grad ⎜ ⎟ + (ω × v ) = − grad ( p ) + F          (8.1)
                 ∂t        ⎝ 2⎠              ρ
при следующих предположениях.
 1. Движение потенциально, т.е. существует такая функция φ –
    потенциал течения, что вектор скорости v = ( u, v, w ) определяется как

    v = grad ϕ = ∇ϕ , или в декартовой системе координат
                             ∂ϕ      ∂ϕ      ∂ϕ
                        u=      , v=    , w=    .                     (8.2)
                             ∂x      ∂y      ∂z
Если движение потенциально, то в нем нет вихрей. В самом деле,
вычислим одну компоненту вектора завихренности:

               ∂u ∂v ∂ ⎛ ∂ϕ ⎞ ∂ ⎛ ∂ϕ ⎞ ∂ 2ϕ      ∂ 2ϕ
          ωz =   −  = ⎜      ⎟−           =    −      = 0.
               ∂y ∂x ∂y ⎝ ∂x ⎠ ∂x ⎜⎝ ∂y ⎟⎠ ∂x∂y ∂y∂x
Аналогично получается, что ω x = 0 и ω y = 0 , т.о. ω = 0 .

 2. Для всего потока можно ввести единую функцию давления Р, такую
    что
                                1
                                    ∇p = ∇P .                         (8.3)
                                ρ
Заметим, что ранее при рассмотрении интеграла Бернулли функция
давления вводилась для каждой линии тока. Для несжимаемой жидкости
P = p/ρ .
     В общем случае ввести единую функцию давления можно для т.н.
баротропных течений, когда давление зависит только от плотности,
p=p(ρ).
     При сделанных предположениях из уравнений (8.1) получим

                                                                     - 73 -