Гидродинамика. Мазо А.Б - 74 стр.

                    ∂          ⎛ ∇ϕ         2   ⎞
                       ( ) ⎜⎜
                        ∇ϕ + ∇                  ⎟ = −∇P + F .
                                                ⎟
                                                                  (8.4)
                    ∂t            2
                               ⎝                ⎠
Если массовые силы также потенциальны, т.е. F = ∇G , то из уравнения
(8.4) получается равенство
                       ⎧⎪ ∂ϕ ∇ϕ         2          ⎫⎪
                      ∇⎨      +             + P − G⎬ = 0.
                        ⎪⎩ ∂t   2                   ⎪⎭
Оно означает, что выражение в фигурных скобках не зависит от
координат, но может зависеть от времени. Поэтому можно записать
                                   2
                       ∂ϕ ∇ϕ
                          +            + P − G = f (t ) .         (8.5)
                       ∂t   2
Здесь f – произвольная функция времени. Уравнение (8.5) называют
интегралом Коши – Лагранжа.
     Легко заметить, что для установившихся течений, когда ∂φ/∂t=0, а f
не зависит от времени, интеграл Коши – Лагранжа совпадает с интегралом
Бернулли. Использование интеграла Коши-Лагранжа преследует те же
цели, что и интеграл Бернулли, а именно: если потенциал φ известен, то
можно найти давление. Обычно правую часть f определяют по известным
значениям скорости и давления на границе потока. Так как функция f
одинакова для всех точек потока, достаточно знать ее значение хотя бы в
одной точке. Таким образом, в задаче является неизвестным лишь одна
функция - потенциал скорости ϕ . Чтобы его найти, используют уравнение
неразрывности
                                  div v = 0                       (8.6)
и определение скорости через потенциал (8.2):
                                 v = grad ϕ .                     (8.7)
Подставив (8.7) в (8.6), получаем классическое уравнение Лапласа для
потенциала
                             div grad ϕ = Δϕ = 0 .                (9.8)


- 74 -