Гидродинамика. Мазо А.Б - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

- 76 -
Рис. 8.1. К постановке задачи о движении шара в вязкой жидкости
Выберем произвольную точку
M
на поверхности шара. Её скорость V
можно разложить на две компоненты: нормальную
cos
r
vV
θ
= и
касательную
sinvV
τ
θ
= . Здесь
θ
- угол между радиус-вектором или
нормалью в точке
M
и направлением движения (или осью
x
). Очевидно,
cos
xx
ra
θ
== . (8.9)
Требуется определить поле скоростей и давления в окружающей
жидкости, вызванной этим движением. Воспользуемся уравнениями
потенциального течения несжимаемой жидкости
grad , div 0
0.
vv
ϕ
ϕ
==⇒
Δ=

(8.10)
Это дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет бесконечно
много решений, выбрать одно из них можно с помощью граничных
условий. Вдали от тела возмущение, вносимое шаром в неподвижную
жидкость, затухает. То есть в бесконечности можно поставить граничное
условие
:| | 0rv
ϕ
=∞ = ∇ →
. Бесконечность удобно представить как шар
большого радиуса, и вместо градиента использовать производную по
нормали:
a
y
v
V
x
v
n
M
θ
r
z
θ
x
n
                    y
                                                   r   vn

                                            M      θ
                                                                 V
                                        a
                                                            vτ
                                        θ
                                             x                   x
                                  n

         z

     Рис. 8.1. К постановке задачи о движении шара в вязкой жидкости

Выберем произвольную точку M на поверхности шара. Её скорость V
можно разложить на две компоненты: нормальную vr = V cos θ               и

касательную vτ = V sin θ . Здесь θ - угол между радиус-вектором или
нормалью в точке M и направлением движения (или осью x ). Очевидно,
                              x x
                               = = cosθ .                             (8.9)
                              r a
     Требуется определить поле скоростей и давления в окружающей
жидкости, вызванной этим движением. Воспользуемся уравнениями
потенциального течения несжимаемой жидкости
                        v = grad ϕ , div v = 0 ⇒
                                                                     (8.10)
                        Δϕ = 0.
     Это дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет бесконечно
много решений, выбрать одно из них можно с помощью граничных
условий. Вдали от тела возмущение, вносимое шаром в неподвижную
жидкость, затухает. То есть в бесконечности можно поставить граничное
условие r = ∞ : | v |= ∇ϕ → 0 . Бесконечность удобно представить как шар

большого радиуса, и вместо градиента использовать производную по
нормали:


- 76 -

Страницы