Гидродинамика. Мазо А.Б - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

- 77 -
:0r
n
ϕ
∂
=
∞=
∂
(8.11)
Для того, чтобы сформулировать граничные условия на поверхности (в
произвольной ее точке
M
), разложим вектор скорости (,0,0)vV=
на три
компоненты
(,,)
rz
vvv
τ
. Как уже было показано,
cos , 0, sin
rz
vV v vV
τ
θ
θ
===. Нас интересует лишь радиальная (она
же нормальная) компонента скорости
:cos
r
x
ra v V V
rn a
ϕ
ϕ
θ
∂
∂
===−= =
∂
∂
(8.12)
Т.о. для потенциала мы получили классическую задачу Неймана. Для
того, чтобы найти решение задачи, изучим вначале некоторые свойства
гармонических функций и частные решения уравнения Лапласа
1)
Пусть
1
удовлетворяет уравнению (8.10). Функции,
удовлетворяющие уравнению Лапласа называют гармоническими.
Так вот, если
1
гармоническая функция, то
x
∂
∂
=
1
2
ϕ
тоже
гармоническая функция. В самом деле,
()
21 1
0
x
x
ϕϕ ϕ
∂
∂
Δ=Δ = Δ =
∂
∂
.
Аналогично, все производные от гармонических функций по
координатам сами являются гармоническими.
2)
Функция
21
CB
ϕ
ϕ
=+
, где
1
удовлетворяет уравнению (8.10), а С
и В – постоянные, удовлетворяет уравнению Лапласа, т.е. является
гармонической функцией.
3)
Функция
r
1
, где
222
zyxr ++= , – это частное решение
уравнения Лапласа (8.10). В самом деле, 
                                                    ∂ϕ
                                           r = ∞:      =0                        (8.11)
                                                    ∂n
Для того, чтобы сформулировать граничные условия на поверхности (в
произвольной ее точке M ), разложим вектор скорости v = (V ,0,0) на три

компоненты           ( vr , vτ , v z ) .       Как        уже       было      показано,

vr = V cos θ , v z = 0, vτ = V sin θ . Нас интересует лишь радиальная (она
же нормальная) компонента скорости
                                           ∂ϕ    ∂ϕ              x
                 r = a : vr =                 =−    = V cosθ = V                 (8.12)
                                           ∂r    ∂n              a
Т.о. для потенциала мы получили классическую задачу Неймана. Для
того, чтобы найти решение задачи, изучим вначале некоторые свойства
гармонических функций и частные решения уравнения Лапласа
  1) Пусть      ϕ1         удовлетворяет              уравнению     (8.10).   Функции,
     удовлетворяющие уравнению Лапласа называют гармоническими.
                                                                              ∂ϕ1
     Так вот, если          ϕ1 гармоническая функция, то ϕ 2 =                    тоже
                                                                               ∂x
     гармоническая функция. В самом деле,
                                            ∂      ∂
                            Δϕ 2 = Δ           ϕ1 = ( Δϕ1 ) = 0 .
                                            ∂x     ∂x
  Аналогично,    все          производные            от   гармонических    функций   по
  координатам сами являются гармоническими.
  2) Функция ϕ 2 = Cϕ1 + B , где               ϕ1 удовлетворяет уравнению (8.10), а С
     и В – постоянные, удовлетворяет уравнению Лапласа, т.е. является
     гармонической функцией.
                 1
                   , где r = x + y + z , – это частное решение
                              2   2   2
  3) Функция
                 r
     уравнения Лапласа (8.10). В самом деле,




                                                                                  - 77 -

Страницы