Гидродинамика. Мазо А.Б - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

- 79 -
32
cosCx C
rr
θ
ϕ
== (8.15)
Условию на бесконечности (9.11) функция удовлетворяет при любой
константе
C , поскольку
3
2cos
0,
C
r
r
r
ϕ
θ
∂
=− → →∞
∂
. (8.16)
Сможем ли мы с помощью выбора постоянной величины С удовлетворить
условию (8.12) на поверхности движущегося шара? Для этого надо
вычислить производную (8.16) при
ra
=
и подставить её в граничное
условие (8.12). Имеем
3
2cos
cos
ra ra
C
V
nr
a
ϕϕ θ
θ
==
∂∂
=− = =−
∂∂
,
откуда находим константу
3
2
Va
C =−
.
Подставив ее в формулу (8.15), окончательно получим потенциал течения
33
32
cos
2
2
Va x Va
rr
θ
ϕ
=− =− . (8.17)
Поле скорости легко найти, дифференцируя решение (8.17) по
координатам.
33
334
332
34 3 2
33 33
3345
3
5
13
22
13 3
1,
2
2
13 3
,
22
22
3
.
2
Va x Va x r
u
xx x
rrr
Va x x Va x
r
rr r r
Va x Va x Va x y Va xy
v
yy y r
rrrr
Va xz
w
z
r
ϕ
ϕ
ϕ
∂∂ ∂
⎛⎞ ⎛ ⎞
==− =− − =
⎜⎟ ⎜ ⎟
∂∂ ∂
⎝⎠ ⎝ ⎠
⎛⎞
⎛⎞
=− − =− −
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
∂∂ ∂
⎛⎞ ⎛⎞
==− =− = =
⎜⎟ ⎜⎟
∂∂ ∂
⎝⎠ ⎝⎠
∂
==
∂
(8.18)
В плоскости
0z = формулы (8.18) дают следующую картину течения 
                                        C x C cosθ
                                   ϕ=       =                                     (8.15)
                                         r3   r2
Условию на бесконечности (9.11) функция удовлетворяет при любой
константе C , поскольку
                         ∂ϕ    2C cos θ
                            =−          → 0, r → ∞ .                              (8.16)
                         ∂r       r3
Сможем ли мы с помощью выбора постоянной величины С удовлетворить
условию (8.12) на поверхности движущегося шара? Для этого надо
вычислить производную (8.16) при r = a и подставить её в граничное
условие (8.12). Имеем
                  ∂ϕ               ∂ϕ              2C cosθ
                              =−               =             = −V cosθ ,
                  ∂n   r =a        ∂r   r =a         a3
откуда находим константу

                                            Va 3
                                        C=−      .
                                             2
Подставив ее в формулу (8.15), окончательно получим потенциал течения

                                   Va 3 x    Va 3 cosθ
                              ϕ =−        =−           .                          (8.17)
                                    2 r3        2r 2
Поле   скорости    легко        найти,         дифференцируя       решение   (8.17)   по
координатам.

             ∂ϕ    Va 3 ∂ ⎛ x ⎞  Va 3 ⎛ 1 3 x ∂r ⎞
          u=    =−        ⎜ ⎟=−       ⎜ −        ⎟=
             ∂x     2 ∂x ⎝ r 3 ⎠  2 ⎝ r 3 r 4 ∂x ⎠
                      Va 3 ⎛ 1 3x x ⎞    Va 3 ⎛ 3 x 2 ⎞
                   =−      ⎜ −      ⎟ = − 3 ⎜1 − 2 ⎟ ,
                       2 ⎝ r3 r4 r ⎠     2r ⎝    r ⎠
             ∂ϕ    Va 3 ∂ ⎛ x ⎞  Va 3 x ∂ ⎛ 1 ⎞ 3Va 3 x y 3Va 3 xy
          v=    =−        ⎜ ⎟=−           ⎜ ⎟=           =         ,
             ∂y     2 ∂y ⎝ r 3 ⎠  2 ∂y ⎝ r 3 ⎠   2r 4 r     2r 5
             ∂ϕ 3Va 3 xz
          w=    =        .
             ∂z   2r 5
                                                                                  (8.18)
    В плоскости z = 0 формулы (8.18) дают следующую картину течения

                                                                                  - 79 -

Страницы