Гидродинамика. Мазо А.Б - 78 стр.

∂ ⎛1⎞
         = −
             1 ∂r
                    =− 2
                         1 ∂   (   x2 + y2 + z2     )=− 1           2x
                                                                             =−
                                                                                  x
   ⎜ ⎟         2
∂x ⎝ r ⎠     r   ∂x   r               ∂x                r2 2 x2 + y2 + z2         r3

              ∂ ⎛1⎞     y ∂ ⎛1⎞    z
Аналогично,      ⎜ ⎟=− 3; ⎜ ⎟=− 3.
              ∂y ⎝ r ⎠ r ∂z ⎝ r ⎠ r
Вычисляем вторые производные:

∂2 ⎛ 1 ⎞ ∂ ⎛ x ⎞          ⎛1       x ∂r ⎞      ⎛1      x2 ⎞ 1 ⎛ x2            ⎞
     ⎜ ⎟  =   ⎜ −   ⎟ = − ⎜ 3 − 3        ⎟ = − ⎜ 3 − 3   5 ⎟
                                                             =   3⎜
                                                                    3     − 1 ⎟,
∂x 2 ⎝ r ⎠ ∂x ⎝ r 3 ⎠     ⎝ r     r 4
                                      ∂x ⎠     ⎝ r     r   ⎠   r  ⎝   r 2
                                                                              ⎠

                  ∂2 ⎛ 1 ⎞       ⎛1        y2 ⎞ 1 ⎛ y2             ⎞
                       ⎜ ⎟   = − ⎜     − 3     ⎟ =     ⎜ 3     − 1 ⎟,
                  ∂y 2 ⎝ r ⎠     ⎝ r 3
                                           r 5
                                               ⎠   r 3
                                                       ⎝   r 2
                                                                   ⎠
                                                                        ,
                    2
                  ∂ ⎛1⎞         ⎛1       z ⎞ 1⎛ z
                                            2               ⎞
                                                            2

                    2 ⎜   ⎟ = − ⎜  3
                                     − 3  5 ⎟ = 3 ⎜ 3 2
                                                        − 1 ⎟;
                  ∂z ⎝ ⎠r       ⎝r       r ⎠ r ⎝ r          ⎠
Сложив их, получим требуемое равенство

               ⎛1⎞ 1 ⎛ x + y + z       ⎞ 3 ⎛ r2          ⎞
                          2  2   2
              Δ⎜ ⎟ = 3 ⎜3          − 3 ⎟ =     ⎜     − 1 ⎟ = 0.
               ⎝r⎠ r ⎝      r2         ⎠   r 3
                                               ⎝ r 2
                                                         ⎠
Итак, мы показали, что функция
                                                1
                                         ϕ=                                    (8.13)
                                                r
является решением уравнения Лапласа. Такое решение описывает течение
жидкости     от   точечного        источника.        Согласно      первому   свойству
гармонических функций производная
                                    ∂ ⎛1⎞        x
                                       ⎜ ⎟   = −                               (8.14)
                                    ∂x ⎝ r ⎠     r3
также будет гармонической. Такое решение уравнения Лапласа описывает
течение от диполя с осью в направлении х. По второму свойству функция

Cx / r 3 также гармоническая. С ее помощью мы построим краевой задачи
(8.10), (8.11), (9.12), удовлетворив граничные условия за счет выбора
константы C . Итак, ищем решение задачи в виде
- 78 -