Гидродинамика. Мазо А.Б - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

- 94 -
(
)
2
/, /, /, / ,
w
zw
R
yrRxzRuuUPp U
U
τ
ρσ
μ
=== = =
. (9.12)
Уравнение (9.9) в переменных (9.12) имеет вид
2
2
,0 1
UuUP
yy
yy Rx
yR
μρ
⎛⎞
∂∂ ∂
=
<<
⎜⎟
∂∂ ∂
⎝⎠
.
Поделив это уравнение на
2
U
R
μ
, получаем формулировку задачи в
безразмерных переменных
1
Re , Re , 0 1;
0: 0; 1: 0.
uPUR
yy
yy y x
u
yy ru
y
ν
⎛⎞
∂∂ ∂
==<<
⎜⎟
∂∂ ∂
⎝⎠
∂
====
∂
(9.13)
Безразмерный комплекс Re -число Рейнольдса - является единственным
параметром задачи. При этом исходная задача определяется не четырьмя
независимыми размерными параметрами (μ, ρ, R, U), а единственным
безразмерным параметром Re. Правая часть уравнения (9.13) в данной
постановке считается заданной константой; обозначим ее через
2
2
Re Re
PRp
C
z
U
ρ
∂
∂
==
∂
∂
. (9.14)
Заметим, что при течении в направлении
z давление падает, / 0dp dz
<
,
поэтому константа C отрицательна.
Задача (9.13) легко решается. Умножим уравнение на
y и
проинтегрируем по
y от нуля до y . С учетом первого из граничных
условий (9.13) получим
2
0
(9.13) 0 .
2
y
du y
dy y C
dy
=−=
∫
Сократим на
y и интегрируем ещё раз по y от 1 до y . Будем иметь
() ( )
()
1
22
2
1
11
4444
y
yyC
uuyC C y
⎛⎞
−= =−=−
⎜⎟
⎝⎠
.
Используя граничное условие прилипания на стенке, окончательно
получим параболический профиль скорости в трубе 
                                                                         τ wR
                                                       (     )
            y = r / R , x = z / R , u = u z / U , P = p / ρU 2 , σ w =
                                                                          μU
                                                                              .   (9.12)

Уравнение (9.9) в переменных (9.12) имеет вид
                       μU ∂ ⎛ ∂u ⎞ρU 2 ∂P
                          y
                        ⎜ ∂y ⎟ =          , 0 < y < 1.
                yR 2
                     ∂y ⎝    ⎠     R   ∂x
                            μU
Поделив это уравнение на       2
                                 , получаем формулировку задачи в
                            R
безразмерных переменных
              1 ∂ ⎛ ∂u ⎞        ∂P         UR
                    ⎜ y ⎟ = Re , Re =          , 0 < y < 1;
               y ∂y ⎝ ∂y ⎠      ∂x          ν
                                                             (9.13)
                        ∂u
              y = 0: y     = 0;    r = 1: u = 0.
                        ∂y
Безразмерный комплекс Re -число Рейнольдса - является единственным
параметром задачи. При этом исходная задача определяется не четырьмя
независимыми размерными параметрами (μ, ρ, R, U), а единственным
безразмерным параметром Re . Правая часть уравнения (9.13) в данной
постановке считается заданной константой; обозначим ее через
                             ∂P       2 R ∂p
                                C = Re
                                = Re         .                 (9.14)
                             ∂x      ρU 2 ∂z
Заметим, что при течении в направлении z давление падает, dp / dz < 0 ,
поэтому константа C отрицательна.
         Задача (9.13) легко решается. Умножим уравнение на                        y   и
проинтегрируем по y от нуля до y . С учетом первого из граничных
условий (9.13) получим
                            y
                                            du       y2
                            ∫ (9.13) dy = y dy − 0 = 2 C.
                            0
Сократим на y и интегрируем ещё раз по y от 1 до y . Будем иметь
                                          1
                                ⎛ 1 y2 ⎞ C
                                     y2
                 u (1) − u ( y ) = C
                             = C⎜ −
                                     4
                                       ⎟=  1 − y2 .          (      )
                           y    ⎝4 4 ⎠ 4
Используя граничное условие прилипания на стенке, окончательно
получим параболический профиль скорости в трубе


- 94 -

Страницы