Гидродинамика. Мазо А.Б - 93 стр.

                    ∂uz     1 ∂p ν ∂ ⎛ ∂uz ⎞ ∂ 2 uz
                 uz      =−     +       r     +     ,
                     ∂z     ρ ∂z r ∂r ⎜⎝ ∂r ⎟⎠ ∂z 2
                 ∂uz
                      = 0.
                  ∂z
Последнее равенство означает, что скорость в любой точке сечения трубы
(z=const) одинакова, то есть продольная скорость uz зависит только от r .
       Окончательно получаем единственное уравнение
                              ν ∂ ∂uz               1 ∂p
                                      r        =         ,
                              r ∂r        ∂r        ρ ∂z
или
                        μ ∂ ∂uz ∂p
                              r           =
                                   , 0 < r < R.              (9.8)
                      r ∂r ∂r   ∂z
Это уравнение необходимо дополнить граничными условиями симметрии
на оси трубы и прилипания на стенке:
                            ∂uz
                    r = 0 : μr  = 0;  r = R : uz = 0.            (9.9)
                             ∂r
       Математическую задачу на основе соотношений (9.8), (9.9) можно
сформулировать двумя способами.
                                                                 ∂p
1-й способ. Считаем заданным перепад давления                         , тогда краевая задача
                                                                 ∂z
(9.8), (9.9) однозначно определяет все характеристики течения, а именно:
- среднюю скорость течения в трубе
                                      2π        R
                                  1
                         U=
                              π R2        ∫ dϕ ∫ uZ ( r )rdr .                       (9.10)
                                          0     0
- напряжение трения на стенке
                                   ∂uz
                              τ w = −μ (R).                         (9.11)
                                    ∂r
2-й способ. Задан расход через трубу Q = U π R 2 . В этом случае градиент
∂p
      подлежит определению.
∂z
       Решим вначале первую задачу. Для этого удобно перейти к
безразмерным переменным



                                                                                      - 93 -