Гидродинамика. Мазо А.Б - 91 стр.

     Цилиндрическая система координат является частным случаем
криволинейных        систем          координат,             которые       активно       изучаются   и
применяются механике сплошной среды. Прежде, чем приступить к
решению задачи о вязком течении жидкости в трубе, приведем
необходимые сведения об основных операторы в цилиндрической системе
координат.

     Дивергенция произвольного вектора v = ur , u z , uϕ                  (         )    и градиент

скалярной функции f ( r, z,ϕ ) определяются как

                1 ∂            ∂u 1 ∂u           ⎛ ∂f ∂f 1 ∂f ⎞
      div v =        ( r ur ) + z + ϕ ; grad f = ⎜ , ,        ⎟.
                r ∂r            ∂z r ∂ϕ          ⎝ ∂r ∂z r ∂ϕ ⎠
     Интегрирование функции                          f ( r, z,ϕ ) по объему трубы длиной
H равен
                                                2π     H      R

                                ∫f   dV =       ∫ dϕ ∫ dz ∫ f      rdr .
                               V                0       0     0

     Оператор Лапласа в цилиндрической системе координат имеет вид

                                  1 ∂ ⎛ ∂f ⎞ ∂ 2 f   1 ∂2 f
                Δf = div grad f =      ⎜r ⎟ +      +        .
                                  r ∂r ⎝ ∂r ⎠ ∂z 2 r 2 ∂ϕ 2
     Компоненты вектора ускорения в координатах r, z,ϕ записывается
следующим образом.
                                          2
           ∂ur      ∂ur      ∂ur uϕ ∂ur uϕ
      ar =     + ur     + uz    +      − ,
            ∂t      ∂r       ∂z   r ∂ϕ   r

             ∂u z     ∂u      ∂u   uϕ ∂uz
      az =        + ur z + u z z +        ,
              ∂t       ∂r      ∂z   r ∂ϕ
             ∂uϕ          ∂uϕ             ∂uϕ        uϕ ∂uϕ       ur uϕ
      aϕ =         + ur            + uz         +             +
              ∂t          ∂r              ∂z          r ∂ϕ          r
     Обратим внимание на наличие двух дополнительных (по сравнению
с прямоугольной декартовой системой координат) слагаемых для
компонент в ar и a z . Первое из них, −uϕ2 / r - это центростремительное

                                                                                               - 91 -