ВУЗ:
Составители:
Оценка условий сходимости итерационного процесса метода Ньютона.
Предположим, что решение (5.2) существует и равно Х*, т.е.
0≡W(X*)
. Разложим W(X) в ряд Тейлора в точке некоторого приближения
)()(
*
ii
εXX −= и W(X*) определим как
0
2
1
)()(
2
)(2
)(
)(
)(
=
∂
∂
+
∂
∂
+=
ii
i
i
i
i
εε
X
)W(X
ε
X
)W(X
)W(XW(X*)
, (5.5)
где
)(i
ε – некоторый вектор, компоненты которого зависят от Х* и
)(i
X ;
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
∂∂
∂
=
∂
∂
Nlji
XX
W
lj
i
..1,, ,
2
2
2
X
W
– кубическая матрица (N×N×N), матрица
вторых производных или матрица Гессе.
Согласно (5.3)
)W(X
X
)W(X
XX
)(
1
)(
)()1( i
i
ii
−
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
−=
. (5.6)
Из (5.5), поделив все члены уравнения на матрицу Якоби и выразив
первый член, запишем
)()(
2
)(2
1
)(
)()(
1
)(
2
1
ii
ii
ii
i
εε
X
)W(X
X
)W(X
ε)W(X
X
)W(X
∂
∂
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
−
−−
.
Подставим последнее выражение в (5.6)
)()(
2
)(2
1
)(
)()()1(
2
1
ii
ii
iii
εε
X
)W(X
X
)W(X
εXX
∂
∂
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
++=
−
+
или, если учесть
*
)()(
XεX =+
ii
)()(
2
)(2
1
)(
*)1(
2
1
ii
ii
i
εε
X
)W(X
X
)W(X
XX
∂
∂
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+=
−
+
.
Следовательно, если погрешность i-того приближения равна
)(*)( ii
XXε −= , то после выполнения шага итерации по методу Ньютона
получим (i+1)-е приближение, погрешность которого
)()(
2
)(2
1
)(
*)1()1(
2
1
ii
ii
ii
εε
X
)W(X
X
)W(X
XXε
∂
∂
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
=−=
−
++
. (5.7)
Из (5.7) следует, что
1) условия сходимости метода Ньютона зависят
а) от значений первых и вторых производных функций невязок по
искомым параметрам;
б) от близости предыдущего, а в конечном итоге начального
приближения к решению. При этом погрешность последующего приближения
связана с погрешностью предыдущего решения квадратичной зависимостью. В
этом смысле говорят о квадратичной
сходимости метода Ньютона.
2) по мере приближения к решению сходимость резко ускоряется.
3) при задании начального приближения достаточно далеко от решения
итерационный процесс метода Ньютона может быть расходящимся.
Для устранения недостатка п.3 рассмотрим далее подходы для
обеспечения надежности сходимости итерационного процесса.
Оценка условий сходимости итерационного процесса метода Ньютона. −1
(i +1) 1 ⎡ ∂W(X (i ) ) ⎤
* ∂ 2 W(X (i ) ) (i ) (i )
Предположим, что решение (5.2) существует и равно Х*, т.е. X =X + ⎢ ⎥ ε ε .
2 ⎣⎢ ∂X ⎦⎥ ∂X 2
W(X*) ≡ 0 . Разложим W(X) в ряд Тейлора в точке некоторого приближения
Следовательно, если погрешность i-того приближения равна
(i ) (i )
X = X * −ε и W(X*) определим как
ε (i ) = X* − X (i ) , то после выполнения шага итерации по методу Ньютона
∂W(X (i ) ) (i ) 1 ∂ 2 W(X (i ) ) (i ) (i )
W(X*) = W(X (i ) ) + ε + ε ε = 0, (5.5) получим (i+1)-е приближение, погрешность которого
∂X 2 ∂X 2 −1
(i +1) (i +1) 1 ⎡ ∂W(X (i ) ) ⎤
* ∂ 2 W(X (i ) ) (i ) (i )
где ε (i )
– некоторый вектор, компоненты которого зависят от Х* и X (i )
; ε =X −X = ⎢ ⎥ ε ε . (5.7)
2 ⎣⎢ ∂X ⎦⎥ ∂X 2
∂2W ⎧⎪ ∂ 2W ⎫⎪
i Из (5.7) следует, что
=⎨ , i, j , l = 1..N ⎬ – кубическая матрица (N×N×N), матрица
∂X 2 ⎪⎩ ∂X j ∂X l ⎪⎭ 1) условия сходимости метода Ньютона зависят
вторых производных или матрица Гессе. а) от значений первых и вторых производных функций невязок по
Согласно (5.3) искомым параметрам;
−1 б) от близости предыдущего, а в конечном итоге начального
⎡ ∂W(X (i ) ) ⎤
X (i +1) = X (i ) − ⎢ ⎥ W(X (i ) ) . (5.6) приближения к решению. При этом погрешность последующего приближения
⎢⎣ ∂X ⎥⎦ связана с погрешностью предыдущего решения квадратичной зависимостью. В
Из (5.5), поделив все члены уравнения на матрицу Якоби и выразив этом смысле говорят о квадратичной сходимости метода Ньютона.
первый член, запишем 2) по мере приближения к решению сходимость резко ускоряется.
−1 −1 3) при задании начального приближения достаточно далеко от решения
⎡ ∂W(X (i ) ) ⎤ (i ) (i ) 1 ⎡ ∂W(X (i ) ) ⎤ ∂ 2 W(X (i ) ) (i ) (i )
−⎢ ⎥ W(X )=ε + ⎢ ⎥ ε ε . итерационный процесс метода Ньютона может быть расходящимся.
⎣⎢ ∂X ⎦⎥ 2 ⎣⎢ ∂X ⎦⎥ ∂X 2
Для устранения недостатка п.3 рассмотрим далее подходы для
Подставим последнее выражение в (5.6)
обеспечения надежности сходимости итерационного процесса.
−1
(i +1) (i ) (i ) 1 ⎡ ∂W(X (i ) ) ⎤ ∂ 2 W(X (i ) ) (i ) (i )
X =X +ε + ⎢ ⎥ ε ε
2 ⎣⎢ ∂X ⎦⎥ ∂X 2
или, если учесть X (i ) + ε (i ) = X *
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
