Математические задачи в энергетике. Медведева С.Н. - 17 стр.

  ЛЕКЦ. 2-6: ФОРМЫ ЗАПИСИ УРАВНЕНИЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ                                           итерационного процесса по мере приближения к решению, поэтому
 РЕЖИМА ДЛЯ ОБЩЕГО СЛУЧАЯ ЗАДАНИЯ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ
                                                                                              градиентный метод не нашел самостоятельного применения для решения
                   (ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕМЫ)
                                                                                              узловых    уравнений        установившегося        режима.   Зато     метод    Ньютона
           Сделаем выводы по 4 формам записи СНАУ установившегося режима
                                                                                              применяется как стандартный, т.к. он характеризуется быстрой сходимостью.
электрической           сети,      каждая   из    которых    имеет    свои   преимущества,
определяющие область ее рационального применения:
           1) Узловые уравнения в форме баланса токов в прямоугольной СК
                                                                                                      Тема: Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона
линейны слева (преимущество), следовательно, их можно решать с помощью
итерационных методов. То есть, если есть программа, реализующая                                       Идея метода Ньютона
итерационный процесс, то предпочтительнее сформировать узловые уравнения
                                                                                                      Метод Ньютона пригоден для решения обширного класса нелинейных
в форме баланса токов в прямоугольной СК.
                                                                                              задач. Идея его заключается в последовательной линеаризации системы
           2) Уравнения в форме баланса мощностей позволяют относительно
                                                                                              нелинейных уравнений на каждом шаге итерации. Решение линеаризованной
просто учитывать разное задание исходных данных для нагрузочных и
                                                                                              системы дает значение неизвестных, которое ближе к решению, чем
генераторных узлов (генераторный Pi, Ui, нагрузочный Pi, Qi). То есть для
                                                                                              предыдущее приближение.
генераторного узла достаточно заменить уравнение баланса реактивной
                                                                                                      Проиллюстрируем идею на примере одного нелинейного уравнения и в
мощности во втором уравнении формы 3 (выражения 4.5) на уравнения
                                                                                              графике. Нужно решить уравнение
(U' k )2
           + (U"k ) 2
                        = U 2k .                                                                                                           w( x) = 0 .                            (1)

           3) Наиболее просто осуществляется такой учет в уравнениях формы 4,                         Графически его решение – это точка ~
                                                                                                                                         x , в которой кривая w( x)
т.е. в форме баланса мощностей в полярной СК. Для генераторных узлов в                                                                             проходит через 0 (см. рис.).
                                                                                               w(x)
этой      системе       уравнений      надо      просто   исключить    уравнения    баланса                                                        Зададим                  начальное
реактивных мощностей.                                                                                                                              приближение х<0>
           Общий недостаток для всех форм – уравнения трансцендентны, т.е.                                                                                 Уравнение              (1)
содержат       тригонометрические             функции,      что   увеличивает    объем   и                                   w(x)                  линеаризуем       в   окрестности
трудоемкость вычислений при их решении.                                                                                                            точки х <0>
                                                                                                                                                                 , то есть на графике
           Полученные           уравнения     содержат      дифференцируемые       функции,                                                        проводим касательную к точке
следовательно, для решения можно применять градиентный метод и метод                                                                               х<0>. Из рисунка видно
Ньютона. Основной недостаток градиентных методов – медленная сходимость
                                                                                                                                             x
                                                                                                  0
                                                                                                           ~x   x
                                                                                                                    <2>
                                                                                                                             x
                                                                                                                                 <1>   <0>
                                                                                                                                       x