Математические задачи в энергетике. Медведева С.Н. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

В полярной СК
j
j
j
j
eUU
δ
= ,
k
j
k
k
eUU
δ
=
.
Подставим эти выражение в (4.3) и разделим комплексное выражение
проводимости на действительную и мнимую части:
()
()
ббб
1
Ujbge
U
jQP
eUjbg
kk
j
k
kk
j
N
j
jkjkj
k
j
−−⋅
−
=⋅
∑
⋅−
δ
δ
=
.
Разделим обе части уравнения на
k
j
e
δ
.
()
(
)
()
k
kj
j
kk
k
kk
j
N
j
jkjkj
eUjbg
U
jQP
eUjbg
δ−
δ−δ
=
⋅−−
−
=⋅
∑
⋅−
ббб
1
.
Учтем, что по формуле Эйлера
α+α=
α
sincos je
j
, тогда
()()
(
)
[]
()( )
;sincos
sincos
ббб
1
kkkk
k
kk
kjkj
N
j
jkjkj
jUjbg
U
jQP
jUjbg
δ−δ⋅⋅−−
−
=
=δ−δ+δ−δ⋅
∑
⋅−
=
.
Раскрываем скобки
() ()
() ()
;sinsincoscos
sinsin
coscos
бббббббб
11
11
kkkkkkkk
k
k
k
k
N
j
kjjkj
N
j
kjjkj
N
j
N
j
kjjkjkjjkj
UbUjgUjbUg
U
Q
j
U
P
UbUgj
UbjUg
δ+δ+δ+δ−
−−=
∑
δ−δ+
∑
δ−δ+
+
∑∑
δ−δ−δ−δ
==
==
Сменим фазу, поскольку логичнее определять фазу относительно узла,
для которого пишем уравнение, т.е.
)cos(cos
α
−
=α , )sin(sin
α
−
−
=
α
, и
разделим действительную и мнимую части. Для мнимой части еще сменим
знак. В результате получаем:
() ()
[]
()
() ()
[]
()
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
δ+δ−=
=⋅
∑
δ−δ+δ−δ
δ−δ−=
=⋅
∑
δ−δ−δ−δ
=
=
kkkk
k
k
j
N
j
jkkjjkkj
kkkk
k
k
j
N
j
jkkjjkkj
bgU
U
Q
Ubg
bgU
U
P
Ubg
cossin
cossin
;sincos
sincos
ббб
1
ббб
1
(4.4)
3. Узловые уравнения УР в форме баланса мощностей в прямоугольной
системе координат
Для вывода используем уравнение в виде (3в)
б
бУ
UYUSUYU
дуд
ˆ
ˆ
ˆ
−=
.
Подставляем в него соотношения (4.1)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
бббдддд
"'"'"' Ujjjjjj ⋅−
⋅
−
−
−
=
+
⋅
−
⋅
− BGUUQPUUBGUU .
Раскрываем вторые и третьи скобки слева и скобки справа
(
)
(
)
()
ббдбдбдбд
дд
""''
""''"'
Ujjj
jjj
⋅−−−−−
=
+
+
−
⋅
−
BUGUBUGUQP
BUGUBUGUUU
.
Разделяем вещественную и мнимую части
()
(
)
(
)
()()
()
⎭
⎬
⎫
⋅+−=+⋅+−⋅
⋅−−=−⋅−+⋅
."'"'""''
;"'"'""''
ббдбддд
ббдбддд
U
U
GUBUQBUGUUGUBUU
BUGUPGUBUUBUGUU
(4.5)
В развернутом виде 
                                                             jδ j
                                                                                                                                       [                                       )]
                                                                                       jδ k
                                                                                                                                                (         )          (                    ⎫
                                                                                                                                     N
        В полярной СК U j = U j e                                   , U k = Uke               .
                                                                                                                                     ∑ g kj cos δ k − δ j − bkj sin δ k − δ j ⋅ U j = ⎪
                                                                                                                                    j =1                                                  ⎪
        Подставим эти выражение в (4.3) и разделим комплексное выражение
                                                                                                                                                 P                                        ⎪
проводимости на действительную и мнимую части:                                                                                                = k − U б ( g kб cos δ k − bkб sin δ k );⎪
                                                                                                                                                Uk                                        ⎪
                                                                                                                                                                                          ⎬          (4.4)
                   (                      )                   P − jQk jδ k
               N                                      jδ j
               ∑ g kj − jbkj ⋅ U j ⋅ e                       = k     ⋅e    − ( g kб − jbkб )U б .                                    N
                                                                                                                                       [        (         )          (         )]
                                                                 Uk                                                                  ∑ g kj sin δ k − δ j + bkj cos δ k − δ j ⋅ U j = ⎪
            j =1
                                                                                                                                    j =1
                                                                                                                                                                                          ⎪
                                                                                                                                                                                          ⎪
                                                                        jδ k                                                                     Qk                                       ⎪
        Разделим обе части уравнения на e                                      .                                                              =      − U б ( g kб sin δ k + bkб cos δ k ) ⎪
                                                                                                                                                Uk                                        ⎭
    N
           (
    ∑ g kj − jbkj ⋅ U j ⋅ e       )           (
                                              j δ j −δk      ) = Pk − jQk − (g − jb )U ⋅ e − jδ k .
                                                                              kб   kб б                                   3. Узловые уравнения УР в форме баланса мощностей в прямоугольной
    j =1                                                              Uk
                                                                                                                   системе координат
        Учтем, что по формуле Эйлера e jα = cos α + j sin α , тогда                                                       Для вывода используем уравнение в виде (3в)
                       N
                              (               )              [ (
                       ∑ g kj − jbkj ⋅ U j ⋅ cos δ j − δ k + j sin δ j − δ k = )              (           )]                                   ˆ Y U = Sˆ − U
                                                                                                                                               U д У     у
                                                                                                                                                            ˆ Y U .
                                                                                                                                                              д б б
                       j =1
                                                                                                               .          Подставляем в него соотношения (4.1)
                        P − jQk
                       = k      − (g kб − jbkб ) ⋅ U б ⋅ (cos δ k − j sin δ k );                                   (U'д − jU"д ) ⋅ (G − jB ) ⋅ (U'+ jU") = P − jQ − (U'д − jU"д )⋅ (G б − jB б ) ⋅ U б .
                           Uk
        Раскрываем скобки                                                                                                 Раскрываем вторые и третьи скобки слева и скобки справа
                                                                                                                              (U'д − jU"д ) ⋅ (GU'− jBU'+ jGU"+BU") =
                                      (           )                            (                  )
        N                                                    N
        ∑ g kjU j cos δ j − δ k − j ∑ bkjU j cos δ j − δ k +                                                                                                                              .
      j =1                                                 j =1
                                                                                                                              P − jQ − (U' д G б − jU' д B б − jU"д G б − U"д B б ) ⋅ U б

                                          (            )                           (                  )
          N                         N                      P     Q                                                        Разделяем вещественную и мнимую части
     + j ∑ g kjU j sin δ j − δ k + ∑ bkjU j sin δ j − δ k = k − j k −
         j =1                      j =1                    Uk    Uk                                                     U' д ⋅(GU'+ BU") − U"д ⋅(BU'−GU") = P − (U' д G б − U"д B б ) ⋅ U б ; ⎫
                                                                                                                                                                                              ⎬ (4.5)
     − g kбU б cos δ k + jbkбU б cos δ k + jg kбU б sin δ k + bkбU б sin δ k ;                                          U' д ⋅(BU'−GU") + U"д ⋅(GU'+ BU") = Q − (U' д B б + U"д G б ) ⋅ U б .⎭
        Сменим фазу, поскольку логичнее определять фазу относительно узла,                                                В развернутом виде
для которого пишем уравнение, т.е. cos α = cos(−α) , sin α = − sin( −α ) , и
разделим действительную и мнимую части. Для мнимой части еще сменим
знак. В результате получаем:

Страницы