Математические задачи в энергетике. Медведева С.Н. - 18 стр.

                                        w< 0 >                                                                 W1 ( x1 , x 2 ,.., x N ) = 0; ⎫
                         tgα =                           или                                                                                  ⎪
                                   x < 0 > − x <1>                                                             W2 ( x1 , x 2 ,.., x N ) = 0; ⎪
                                                                                                                                              ⎬             (5.1)
                                                     <0>
                                                                                                               ...                            ⎪
                                                  w
                          x < 0 > − x <1> =            .                                                       W N ( x1 , x 2 ,.., x N ) = 0,⎪⎭
                                                   tgα

                                                          (       )
                                                                                где Wi – дифференцируемые функции переменных xi.
                                          ∂w x <0 >
       В то же время по определению tgα =           .                                   В матричном виде                 W(X) = 0 ,                      (5.2)
                                             ∂x
                                                                                где W, X– вектор-функция и вектор переменных.
       После несложных преобразований получим

                                                              ( )
                                                                                        Аналогично алгоритму решения одного уравнения суть метода
                                                               <0>
                                                 wx
                              x <1> = x < 0 > −
                                                               ( )        (2)   Ньютона состоит в линеаризации системы уравнений в точке заданного
                                                ∂w x < 0 >
                                                   ∂x                           приближения X < i > , затем полученная СЛАУ решается, получаем X < i +1> .

       Обобщим выражение (2) для любого шага итерации:                          Линеаризация производится путем разложения вектор-функции в ряд Тейлора

                                  < i +1 >               ( )
                                                              w x 
                                                                                и отбрасывания членов разложения порядка выше первого. То есть

                                                           ∂w(x < i > )
                              x              =x          −                (3)   итерационная формула метода Ньютона имеет вид

                                                                 ∂x                                                          ∂W(X (i ) )
                                                                                                              W(X (i ) ) +               ΔX (i ) = 0 ,      (5.3)
                                                                                                                               ∂X
       Итерационный процесс сходится, если функция w( x) становится
близкой к 0. Сходимость считается достигнутой, а итерационный процесс                 ∂W ⎧⎪ ∂Wi                ⎫⎪
                                                                                где     =⎨       , i, j = 1..N ⎬ – квадратная матрица частных производных
законченным, если абсолютная величина невязки (небаланса) меньше                      ∂X ⎪⎩ ∂X j                ⎪⎭
заданной.
                                                                                или иначе матрица Якоби; ΔX (i ) = X (i +1) − X (i )
       Далее рассмотрим применение идеи для решения не обного уравнения,
                                                                                        Выражение (5.3) представляет собой СЛАУ вида
а системы.
                                                                                                                ∂W(X (i ) )
       Решение СНАУ методом Ньютона.                                                                                        ΔX (i ) = − W(X (i ) )          (5.4)
                                                                                                                  ∂X
       Имеем систему нелинейных уравнений в общем виде
                                                                                с неизвестными ΔX (i ) .
                                                                                        Решение существует при условии, что матрица коэффициентов
                                                                                (матрица Якоби) не особенная, т.е. определитель матрицы (якобиан) не равен
                                                                                нулю.