ВУЗ:
Составители:
процесс по методу Зейделя сходится всегда.
Чтобы привести исходную матрицу к положительно-
определенной, надо исходную систему уравнений
умножить слева на транспонированную матрицу
коэффициентов, т.е. если имеем систему
Ах=b, то умножив на A
t
, имеем A
t
Ax=A
t
b – или
A'x=b', матрица A' – положительно определенная,
итерационный процесс по методу Зейделя обязан
сходиться. (медленно!, вырастает объем вычислений)
Вопросы
сходимости
итерационны
х процессов
Для выполнения условия (23) при любой точности
необходимо, чтобы
*
)(
lim
k
i
k
i
UU =
∞→
, (28)
где
*
i
U – точные решения системы уравнений.
При выполнении условия (28) при любых начальных
приближениях итерационный процесс называется
сходящимся, иначе – расходящийся.
Выясним условия сходимости итерационного процесса.
Для метода ПрИт из (25), записав решение на (i+1)-м и
i-м шаге, а затем вычтя решения, получим в матричной
форме
(
)
)1()()()1( −+
−=−
iiii
UUBUU (29)
Поскольку это выражение справедливо для любых
i, то
выражение (29) можно записать
(
)
)0()1()()1(
UUBUU −=−
+ iii
(30)
Условие сходимости (28) можно записать в виде
(
)
0
)()1(
lim
=−
+
∞→
ii
i
UU
Тогда условие сходимости (30) примет вид
0
lim
=
∞→
i
i
В , (31)
потому что на первом шаге итерации, как правило, нуль
не получается
Для выполнения условия (31)
необходимо и достаточно,
чтобы собственные значения матрицы В были меньше 1.
nk
k
1,2,.., ,1 =<λ
Из курса ВМ вы знаете, что собственными значениями
матрицы называются корни характеристического
уравнения
0)det(
=
λ
−
1B
или в развернутом виде
(
)
()
()
0
...
.........
...
...
21
22221
11211
=
λ−
λ−
λ−
nnnn
n
n
bbb
bbb
bbb
Вычисление собственных значений характеристического
уравнения более сложная процедура, нежели решение
системы уравнений методом Гаусса, поэтому
необходимыми и достаточными условиями на практике
не пользуются. Применяются
достаточные условия
сходимости
, которые формулируются непосредственно
через элементы матрицы
В:
1
1
<
∑
=
n
j
ij
b при i=1,2,..,n
или 1
1
<
∑
=
n
i
ij
b при j=1,2,..,n
или
ii
n
ji
j
ij
bb <
∑
≠
=1
при i=1,2,..,n (32)
Элементы матрицы B применительно к методу узловых
напряжений определяются элементами матрицы узловых
напряжений и зависят только от ее свойств.
А из этих свойств
диагональный элемент не равен 0, т.е.
преобразование к виду (22) всегда выполнимо.
Кроме того, как правило,
диагональные элементы
превышают недиагональные
(см. свойства матрицы
узловых проводимостей), но поскольку в схемах
процесс по методу Зейделя сходится всегда. чтобы собственные значения матрицы В были меньше 1.
Чтобы привести исходную матрицу к положительно- λ k < 1, k = 1,2,.., n
определенной, надо исходную систему уравнений
умножить слева на транспонированную матрицу Из курса ВМ вы знаете, что собственными значениями
коэффициентов, т.е. если имеем систему матрицы называются корни характеристического
Ах=b, то умножив на At, имеем AtAx=Atb – или уравнения det(B − λ1) = 0
A'x=b', матрица A' – положительно определенная, или в развернутом виде
итерационный процесс по методу Зейделя обязан (b11 − λ ) b12 ... b1n
сходиться. (медленно!, вырастает объем вычислений)
b21 (b22 − λ ) ... b2n
=0
Вопросы Для выполнения условия (23) при любой точности ... ... ...
сходимости
необходимо, чтобы
(i ) *
lim U k = U k , (28) bn1 bn 2 ... (bnn − λ )
итерационны
i →∞ Вычисление собственных значений характеристического
х процессов
* уравнения более сложная процедура, нежели решение
где U i – точные решения системы уравнений.
системы уравнений методом Гаусса, поэтому
При выполнении условия (28) при любых начальных необходимыми и достаточными условиями на практике
приближениях итерационный процесс называется не пользуются. Применяются достаточные условия
сходимости, которые формулируются непосредственно
сходящимся, иначе – расходящийся. через элементы матрицы В:
Выясним условия сходимости итерационного процесса. n
∑ bij < 1 при i=1,2,..,n
Для метода ПрИт из (25), записав решение на (i+1)-м и j =1
i-м шаге, а затем вычтя решения, получим в матричной n
форме или ∑ bij < 1 при j=1,2,..,n
(
U (i +1) − U (i ) = B U (i ) − U (i −1)
(29) ) i =1
n
Поскольку это выражение справедливо для любых i, то или ∑ bij < bii при i=1,2,..,n (32)
выражение (29) можно записать j =1
(
U (i +1) − U (i ) = B i U (1) − U (0)
(30) ) i≠ j
Элементы матрицы B применительно к методу узловых
Условие сходимости (28) можно записать в виде
( )
напряжений определяются элементами матрицы узловых
(i +1)
lim U − U (i ) = 0 напряжений и зависят только от ее свойств.
i →∞ А из этих свойств диагональный элемент не равен 0, т.е.
Тогда условие сходимости (30) примет вид преобразование к виду (22) всегда выполнимо.
i Кроме того, как правило, диагональные элементы
lim В = 0 , (31)
i →∞ превышают недиагональные (см. свойства матрицы
потому что на первом шаге итерации, как правило, нуль узловых проводимостей), но поскольку в схемах
не получается
Для выполнения условия (31) необходимо и достаточно,
