Математические задачи в энергетике. Медведева С.Н. - 43 стр.

UptoLike

Составители: 

процесс по методу Зейделя сходится всегда.
Чтобы привести исходную матрицу к положительно-
определенной, надо исходную систему уравнений
умножить слева на транспонированную матрицу
коэффициентов, т.е. если имеем систему
Ах=b, то умножив на A
t
, имеем A
t
Ax=A
t
b – или
A'x=b', матрица A' – положительно определенная,
итерационный процесс по методу Зейделя обязан
сходиться. (медленно!, вырастает объем вычислений)
Вопросы
сходимости
итерационны
х процессов
Для выполнения условия (23) при любой точности
необходимо, чтобы
*
)(
lim
k
i
k
i
UU =
, (28)
где
*
i
U точные решения системы уравнений.
При выполнении условия (28) при любых начальных
приближениях итерационный процесс называется
сходящимся, иначерасходящийся.
Выясним условия сходимости итерационного процесса.
Для метода ПрИт из (25), записав решение на (i+1)-м и
i-м шаге, а затем вычтя решения, получим в матричной
форме
(
)
)1()()()1( +
=
iiii
UUBUU (29)
Поскольку это выражение справедливо для любых
i, то
выражение (29) можно записать
(
)
)0()1()()1(
UUBUU =
+ iii
(30)
Условие сходимости (28) можно записать в виде
(
)
0
)()1(
lim
=
+
ii
i
UU
Тогда условие сходимости (30) примет вид
0
lim
=
i
i
В , (31)
потому что на первом шаге итерации, как правило, нуль
не получается
Для выполнения условия (31)
необходимо и достаточно,
чтобы собственные значения матрицы В были меньше 1.
nk
k
1,2,.., ,1 =<λ
Из курса ВМ вы знаете, что собственными значениями
матрицы называются корни характеристического
уравнения
0)det(
=
λ
1B
или в развернутом виде
(
)
()
()
0
...
.........
...
...
21
22221
11211
=
λ
λ
λ
nnnn
n
n
bbb
bbb
bbb
Вычисление собственных значений характеристического
уравнения более сложная процедура, нежели решение
системы уравнений методом Гаусса, поэтому
необходимыми и достаточными условиями на практике
не пользуются. Применяются
достаточные условия
сходимости
, которые формулируются непосредственно
через элементы матрицы
В:
1
1
<
=
n
j
ij
b при i=1,2,..,n
или 1
1
<
=
n
i
ij
b при j=1,2,..,n
или
ii
n
ji
j
ij
bb <
=1
при i=1,2,..,n (32)
Элементы матрицы B применительно к методу узловых
напряжений определяются элементами матрицы узловых
напряжений и зависят только от ее свойств.
А из этих свойств
диагональный элемент не равен 0, т.е.
преобразование к виду (22) всегда выполнимо.
Кроме того, как правило,
диагональные элементы
превышают недиагональные
(см. свойства матрицы
узловых проводимостей), но поскольку в схемах
              процесс по методу Зейделя сходится всегда.              чтобы собственные значения матрицы В были меньше 1.
              Чтобы привести исходную матрицу к положительно-         λ k < 1,        k = 1,2,.., n
              определенной, надо исходную систему уравнений
              умножить слева на транспонированную матрицу             Из курса ВМ вы знаете, что собственными значениями
              коэффициентов, т.е. если имеем систему                  матрицы называются корни характеристического
              Ах=b, то умножив на At, имеем AtAx=Atb – или            уравнения det(B − λ1) = 0
              A'x=b',   матрица A' – положительно определенная,       или          в           развернутом          виде
              итерационный процесс по методу Зейделя обязан           (b11 − λ )        b12          ...      b1n
              сходиться. (медленно!, вырастает объем вычислений)
                                                                           b21        (b22 − λ )     ...     b2n
                                                                                                                        =0
Вопросы       Для выполнения условия (23) при любой точности                 ...          ...        ...
сходимости
              необходимо, чтобы
                                                  (i )  *
                                            lim U k = U k ,   (28)         bn1          bn 2         ...   (bnn − λ )
итерационны
                                 i →∞                                 Вычисление собственных значений характеристического
х процессов
                    *                                                 уравнения более сложная процедура, нежели решение
              где U i – точные решения системы уравнений.
                                                                      системы    уравнений    методом   Гаусса,   поэтому
              При выполнении условия (28) при любых начальных         необходимыми и достаточными условиями на практике
              приближениях итерационный процесс называется            не пользуются. Применяются достаточные условия
                                                                      сходимости, которые формулируются непосредственно
              сходящимся, иначе – расходящийся.                       через элементы матрицы В:
              Выясним условия сходимости итерационного процесса.       n
                                                                      ∑ bij < 1          при i=1,2,..,n
              Для метода ПрИт из (25), записав решение на (i+1)-м и   j =1
              i-м шаге, а затем вычтя решения, получим в матричной             n
              форме                                                   или     ∑ bij < 1         при j=1,2,..,n
                                    (
              U (i +1) − U (i ) = B U (i ) − U (i −1)
                                                (29)      )                   i =1
                                                                                n
              Поскольку это выражение справедливо для любых i, то     или      ∑ bij < bii         при i=1,2,..,n        (32)
              выражение (29) можно записать                                    j =1
                                       (
              U (i +1) − U (i ) = B i U (1) − U (0)
                                                (30)  )                       i≠ j
                                                                      Элементы матрицы B применительно к методу узловых
              Условие сходимости (28) можно записать в виде
                     (                  )
                                                                      напряжений определяются элементами матрицы узловых
                    (i +1)
              lim U        − U (i ) = 0                               напряжений и зависят только от ее свойств.
              i →∞                                                    А из этих свойств диагональный элемент не равен 0, т.е.
              Тогда условие сходимости (30) примет вид                преобразование к виду (22) всегда выполнимо.
                   i                                                  Кроме того, как правило, диагональные элементы
              lim В = 0 ,       (31)
              i →∞                                                    превышают недиагональные (см. свойства матрицы
              потому что на первом шаге итерации, как правило, нуль   узловых проводимостей), но поскольку в схемах
              не получается
              Для выполнения условия (31) необходимо и достаточно,