ВУЗ:
Составители:
Выясним условия сходимости итерационного процесса.
Для метода ПрИт из (25), записав решение на (
i+1)-м и
i-м шаге, а затем вычтя решения, получим в матричной
форме
(
)
)1()()()1( −+
−=−
iiii
xxCxx (29)
Поскольку это выражение справедливо для любых
i, то
выражение (29) можно записать
(
)
)0()1()()1(
xxCxx −=−
+ iii
(30)
Условие сходимости (28) можно преобразовать к виду
(
)
0
)()1(
lim
=−
+
∞→
ii
i
xx
Тогда условие сходимости примет вид
0
lim
=
∞→
i
i
С (31)
Для выполнения условия (31)
необходимо и достаточно,
чтобы собственные значения матрицы
С были меньше 1.
nk
k
1,2,.., ,1 =<λ
Из курса ВМ вы знаете, что собственными значениями
матрицы называются корни характеристического
уравнения
0)det( =λ− 1C
или (записать в развернутом виде)
Вычисление собственных значений характеристического
уравнения более сложная процедура, нежели решение
системы уравнений методом Гаусса, поэтому
необходимыми и достаточными условиями на практике
не пользуются. Применяются
достаточные условия
сходимости
, которые формулируются непосредственно
через элементы матрицы С:
1
1
<
∑
=
n
j
ij
с при i=1,2,..,n
или 1
1
<
∑
=
n
i
ij
с при j=1,2,..,n
или
ii
n
ji
j
ij
aс <
∑
≠
=1
при i=1,2,..,n (32)
Элементы матрицы С применительно к методу узловых
напряжений определяются элементами матрицы узловых
напряжений и зависят только от ее свойств.
А из этих свойств
диагональный элемент не равен 0, т.е.
преобразование к виду (22) всегда выполнимо.
Кроме того, как правило,
диагональные элементы
превышают недиагональные
(св-ва матрицы узл.
проводимостей), но поскольку в схемах замещения
имеются ветви с
индуктивными и емкостными
проводимостями
, то условие (32) часто не выполняется.
Однако, условие (32) –достаточное, поэтому его
невыполнение не означает, что итер. процесс не сходится
, в действительности итер. процесс по методу простой
итерации обычно сходится, хотя и очень медленно.
По методу Зейделя необходимые и достаточные условия
будут отличаться от необходимых и достаточных
условий по методу простой итерации, поскольку иначе
формируется матрица С, состоит из 2-х частей. Поэтому
в общем случае могут быть системы уравнений, которые
сходятся по методу Зейделя, и не сходятся по методу
ПрИт.
Но опять мы не будем пользоваться необх. и
дост.
условиями из-за их сложности.
Достаточные условия сходимости метода Зейделя
совпадают с достаточными условиями сходимости
метода ПрИт, но скорость сходимости процесса по
методу Зейделя больше, т.е. сходится быстрее.
Как
обеспечить
сходимость
итерац.
процесса?
Итак, как по методу Зейделя, так и по методу ПрИт мы
не всегда можем получить решение, поскольку процесс
может расходиться.
Но даже простое переставление уравнений в исходной
системе может изменить условия сходимости. Поэтом
возникает вопрос,
нельзя ли преобразовать исходную
систему уравнений таким образом, чтобы процесс
обязательно сходился
?
При положительно-определенной
матрице итерац.
Выясним условия сходимости итерационного процесса. Элементы матрицы С применительно к методу узловых Для метода ПрИт из (25), записав решение на (i+1)-м и напряжений определяются элементами матрицы узловых i-м шаге, а затем вычтя решения, получим в матричной напряжений и зависят только от ее свойств. форме А из этих свойств диагональный элемент не равен 0, т.е. ( x (i +1) − x (i ) = C x (i ) − x (i −1) (29) ) преобразование к виду (22) всегда выполнимо. Кроме того, как правило, диагональные элементы Поскольку это выражение справедливо для любых i, то выражение (29) можно записать превышают недиагональные (св-ва матрицы узл. ( x (i +1) − x (i ) = Ci x (1) − x (0) (30) ) проводимостей), но поскольку в схемах замещения Условие сходимости (28) можно преобразовать к виду ( )= 0 имеются ветви с индуктивными и емкостными (i +1) (i ) lim x −x проводимостями, то условие (32) часто не выполняется. i →∞ i Однако, условие (32) –достаточное, поэтому его Тогда условие сходимости примет вид lim С = 0 (31) невыполнение не означает, что итер. процесс не сходится i →∞ , в действительности итер. процесс по методу простой Для выполнения условия (31) необходимо и достаточно, итерации обычно сходится, хотя и очень медленно. чтобы собственные значения матрицы С были меньше 1. λ k < 1, k = 1,2,.., n По методу Зейделя необходимые и достаточные условия Из курса ВМ вы знаете, что собственными значениями будут отличаться от необходимых и достаточных матрицы называются корни характеристического условий по методу простой итерации, поскольку иначе уравнения det(C − λ1) = 0 формируется матрица С, состоит из 2-х частей. Поэтому в общем случае могут быть системы уравнений, которые или (записать в развернутом виде) сходятся по методу Зейделя, и не сходятся по методу Вычисление собственных значений характеристического ПрИт. уравнения более сложная процедура, нежели решение Но опять мы не будем пользоваться необх. и дост. системы уравнений методом Гаусса, поэтому условиями из-за их сложности. необходимыми и достаточными условиями на практике Достаточные условия сходимости метода Зейделя не пользуются. Применяются достаточные условия совпадают с достаточными условиями сходимости сходимости, которые формулируются непосредственно метода ПрИт, но скорость сходимости процесса по через элементы матрицы С: методу Зейделя больше, т.е. сходится быстрее. n Как Итак, как по методу Зейделя, так и по методу ПрИт мы ∑ сij < 1 при i=1,2,..,n обеспечить не всегда можем получить решение, поскольку процесс j =1 сходимость может расходиться. n итерац. Но даже простое переставление уравнений в исходной или ∑ сij < 1 при j=1,2,..,n процесса? системе может изменить условия сходимости. Поэтом i =1 n возникает вопрос, нельзя ли преобразовать исходную или ∑ сij < aii при i=1,2,..,n (32) систему уравнений таким образом, чтобы процесс j =1 обязательно сходился? i≠ j При положительно-определенной матрице итерац.