ВУЗ:
Составители:
замещения имеются ветви с индуктивными и
емкостными проводимостями
, то поскольку емкостная
проводимость может быть отрицательной, условие (32)
часто
не выполняется.
Однако, условие (32) –достаточное, поэтому его
невыполнение не означает, что итерационный процесс не
сходится , в действительности итерационный процесс по
методу простой итерации обычно сходится, хотя и очень
медленно.
Для исследования сходимости
по методу Зейделя
представим итерационный процесс в виде
bUBUBU ++=
− )1(
в
)(
н
)( iii
, (33)
где В
н
и В
в
– верхняя и нижняя треугольные матрицы.
Выражение (33) можно преобразовать
(
)
() ()
;11
;1
1
н
)1(
в
1
н
)(
)1(
вн
)(
bBUBBU
bUBBU
−
−
−
−
−+−=
+=−
ii
ii
или
b'UB'U +=
− )1()( ii
(34)
Выражение (34) аналогично выражению (25) для метода
простой итерации, т.е. для сходимости по методу Зейделя
необходимые и достаточные условия формируются
аналогично условиям по методу простой итерации через
определение собственных значений матрицы. Поскольку
сами матрицы отличаются, то будут отличаться и
условия сходимости. И в общем случае могут быть
системы уравнений, которые сходятся
по методу
Зейделя, и не сходятся по методу ПрИт.
Но опять мы не будем пользоваться необходимыми и
достаточными условиями из-за их сложности.
Достаточные условия сходимости метода Зейделя
совпадают с достаточными условиями сходимости
метода ПрИт, поскольку матрица узловых
проводимостей формируется так же и обладает теми же
свойствами, но скорость сходимости процесса по методу
Зейделя больше, т.е. сходится быстрее.
Как
обеспечить
сходимость
итерац.
процесса?
Итак, как по методу Зейделя, так и по методу ПрИт мы
не всегда можем получить решение, поскольку процесс
может расходиться.
Но даже простое переставление уравнений в исходной
системе может изменить условия сходимости. Поэтому
возникает вопрос,
нельзя ли преобразовать исходную
систему уравнений таким образом, чтобы процесс
обязательно сходился
?
При положительно-определенной
матрице итерац.
процесс по методу Зейделя сходится всегда.
Чтобы привести исходную матрицу к положительно-
определенной, надо исходную систему уравнений
умножить слева на транспонированную матрицу
коэффициентов, т.е. если имеем систему
Ах=b, то умножив на A
t
, имеем A
t
Ax=A
t
b – или
A'x=b', матрица A' – положительно определенная,
итерационный процесс по методу Зейделя обязан
сходиться. (медленно!, вырастает объем вычислений)/
(Замечания к выполнению курсового.)
Математичес
кий аппарат
Microsoft
MathCAD
Чтобы понять вычислительные процессы, надо их
прорешать вручную, составить программу, "пощупать".
А для практического решения реальных задач, в которых
число уравнений порядка сотен, надо использовать
современные средства.
Mapple, MathLAB, MathCAD.
MathCAD под Windows
.
– работа с файлами;
– возможности внесения и форматирования
пояснительного текста;
– на панели инструментов дополнительные клавиши:
Insert Function — вставка функции, Insert Utit –
вставить единицы измерения,
Calculate - пересчитать;
– дополнительно
математическая панель, в ней:
арифметическая панель, панель логических операций
и операций сравнения, графики, матрицы, элементы
замещения имеются ветви с индуктивными и Как Итак, как по методу Зейделя, так и по методу ПрИт мы
обеспечить не всегда можем получить решение, поскольку процесс
емкостными проводимостями, то поскольку емкостная
сходимость может расходиться.
проводимость может быть отрицательной, условие (32) итерац. Но даже простое переставление уравнений в исходной
процесса? системе может изменить условия сходимости. Поэтому
часто не выполняется.
возникает вопрос, нельзя ли преобразовать исходную
Однако, условие (32) –достаточное, поэтому его систему уравнений таким образом, чтобы процесс
невыполнение не означает, что итерационный процесс не обязательно сходился?
сходится , в действительности итерационный процесс по При положительно-определенной матрице итерац.
методу простой итерации обычно сходится, хотя и очень процесс по методу Зейделя сходится всегда.
медленно. Чтобы привести исходную матрицу к положительно-
определенной, надо исходную систему уравнений
Для исследования сходимости по методу Зейделя умножить слева на транспонированную матрицу
представим итерационный процесс в виде коэффициентов, т.е. если имеем систему
Ах=b, то умножив на At, имеем AtAx=Atb – или
U (i ) = B н U (i ) + B в U (i −1) + b , (33)
A'x=b', матрица A' – положительно определенная,
где Вн и Вв – верхняя и нижняя треугольные матрицы. итерационный процесс по методу Зейделя обязан
Выражение (33) можно преобразовать сходиться. (медленно!, вырастает объем вычислений)/
U (i ) (1 − B н ) = B в U (i −1) + b; (Замечания к выполнению курсового.)
Математичес Чтобы понять вычислительные процессы, надо их
U (i ) = (1 − B н )−1 B в U (i −1) + (1 − B н )−1 b; кий аппарат прорешать вручную, составить программу, "пощупать".
Microsoft А для практического решения реальных задач, в которых
или U (i ) = B' U (i −1) + b' (34)
MathCAD число уравнений порядка сотен, надо использовать
Выражение (34) аналогично выражению (25) для метода современные средства.
простой итерации, т.е. для сходимости по методу Зейделя Mapple, MathLAB, MathCAD.
необходимые и достаточные условия формируются
аналогично условиям по методу простой итерации через MathCAD под Windows.
определение собственных значений матрицы. Поскольку
сами матрицы отличаются, то будут отличаться и – работа с файлами;
условия сходимости. И в общем случае могут быть
системы уравнений, которые сходятся по методу – возможности внесения и форматирования
Зейделя, и не сходятся по методу ПрИт. пояснительного текста;
Но опять мы не будем пользоваться необходимыми и
достаточными условиями из-за их сложности. – на панели инструментов дополнительные клавиши:
Insert Function — вставка функции, Insert Utit –
Достаточные условия сходимости метода Зейделя вставить единицы измерения, Calculate - пересчитать;
совпадают с достаточными условиями сходимости
метода ПрИт, поскольку матрица узловых – дополнительно математическая панель, в ней:
проводимостей формируется так же и обладает теми же арифметическая панель, панель логических операций
свойствами, но скорость сходимости процесса по методу и операций сравнения, графики, матрицы, элементы
Зейделя больше, т.е. сходится быстрее.
