ВУЗ:
Составители:
∏
∑
=
=
<Δ
n
i
n
j
ij
a
1
1
2
Почему? Некорректная постановка задачи, либо
специфичность рассматриваемой системы, например, при
расчете системы в УР на границе устойчивости.
Как избежать? В первом случае корректно поставить
задачу, во втором – решать ее другими методами
Метод
простой
итерации
Гораздо меньше операций на шаге итерации, но шагов
гораздо больше, чем
n. Были ограничения к применению
итерационных методов, когда был мал объем
оперативной памяти ЭВМ, но не сейчас.
Суть метода: задать любые исходные цифры, считая их
решением. Далее, подставив в уравнения, получить
уточненное решение. Полученные уточненные решения
снова подставить в уравнения для получения нового
уточнения до тех пор, пока не будет достигнута
заданная
точность
Алгоритм
метода ПрИт
1. представить каждое
k-е уравнение в виде решения
относительно
U
k
, т.е. из (20)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
++++=
++++=
++++=
nnnn
nn
nn
bUbUbU
bUbUbU
bUbUbU
0 ...
....
... 0
... 0
2211
221212
112121
, (22)
где
kkkjkj
aab
=
,
kkkk
aJb = .
Диагональные члены =0
2. Задать начальные приближения
)0(
1
U ,
)0(
2
U ,…,
)0(
n
U
3. Подставив начальные приближения в правую часть
уравнений (22), получим первое приближение. Таким же
образом результат может быть использован для
получения 2-го, 3-го и т.д. (
i+1)-го приближения
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
++++=
++++=
++++=
+
+
+
n
i
n
i
n
i
n
i
n
n
ii
i
n
n
ii
bUbUbU
bUbUbU
bUbUbU
0 ...
....
... 0
... 0
)(
2
2
)(
1
1
)1(
2
)(
2
)(
1
21
)1(
2
1
)(
1
)(
2
12
)1(
1
4. Процесс 3) закончить, если разность между соседними
приближениями всех величин достигнет заданной
точности
ε≤−
+ )()1( i
k
i
k
UU (23)
Общий вид
записи
k
n
kj
j
i
j
kjk
n
kj
i
j
kj
k
j
i
j
kj
i
k
bUbbUbUbU +=++=
∑∑∑
≠
=+=
−
=
+
1
)(
1
)(
1
1
)()1(
(24)
Матричная
форма записи
bBUU +=
+ )()1( ii
(25)
Метод
Зейделя
Суть: применить для расчета уже полученные на
k-м
шаге решения
k
n
kj
i
j
kj
k
j
i
j
kj
i
k
bUbUbU ++=
∑∑
+=
−
=
++
1
)(
1
1
)1()1(
(26)
или в матричной форме
bUBUBU ++=
++ )(
н
)1(
в
)1( iii
(27)
Вопросы
сходимости
итерационны
х процессов
Для выполнения условия (23) при любой точности
необходимо, чтобы
*
)(
lim
k
i
k
i
xx =
∞→
, (28)
где
*
i
x
– точные решения системы уравнений.
При выполнении условия (28) при любых начальных
приближениях итерационный процесс называется
сходящимся, иначе – расходящийся.
n n 2 ⎧U (i +1) = 0 + b U (i ) + ... + b U (i )+b
Δ< ∏∑ aij ⎪ 1 12 2 1n n 1
i =1 j =1 ⎪ (i +1)
Почему? Некорректная постановка задачи, либо ⎪U 2 = b21U (i ) + 0 + ... + b2nU (i ) + b2
⎨ 1 n
специфичность рассматриваемой системы, например, при
⎪....
расчете системы в УР на границе устойчивости. ⎪ (i +1)
Как избежать? В первом случае корректно поставить ⎪U = bn1U (i ) + bn 2U (i ) + ... + 0 + bn
задачу, во втором – решать ее другими методами ⎩ n 1 2
Метод Гораздо меньше операций на шаге итерации, но шагов 4. Процесс 3) закончить, если разность между соседними
простой гораздо больше, чем n. Были ограничения к применению приближениями всех величин достигнет заданной
итерации итерационных методов, когда был мал объем (i +1)
точности U k − U k(i ) ≤ ε (23)
оперативной памяти ЭВМ, но не сейчас.
Суть метода: задать любые исходные цифры, считая их Общий вид k −1 n n
решением. Далее, подставив в уравнения, получить записи U k(i +1) = ∑ bkjU (ji) + ∑ bkjU (ji ) + bk = ∑ bkjU (ji) + bk
уточненное решение. Полученные уточненные решения j =1 j = k +1 j =1
снова подставить в уравнения для получения нового j ≠k
уточнения до тех пор, пока не будет достигнута заданная (24)
точность Матричная
Алгоритм 1. представить каждое k-е уравнение в виде решения U (i +1) = BU (i ) + b (25)
форма записи
метода ПрИт относительно Uk, т.е. из (20) Метод Суть: применить для расчета уже полученные на k-м
⎧U1 = 0 + b12U 2 + ... + b1nU n + b1 Зейделя шаге решения
⎪ k −1 n
⎪U 2 = b21U1 + 0 + ... + b2nU n + b2 U k(i +1) =
⎨ , (22) ∑ bkjU (ji +1) + ∑ bkjU (ji ) + bk (26)
⎪.... j =1 j = k +1
⎪⎩U n = bn1U1 + bn 2U 2 + ... + 0 + bn или в матричной форме
(i +1) (i +1) (i )
где bkj = akj akk , bk = J k akk . U = BвU + BнU +b (27)
Диагональные члены =0
( 0) ( 0)
2. Задать начальные приближения U1 , U 2 ,…, U n(0)
3. Подставив начальные приближения в правую часть
уравнений (22), получим первое приближение. Таким же Вопросы Для выполнения условия (23) при любой точности
образом результат может быть использован для сходимости (i ) *
итерационны
необходимо, чтобы lim xk = xk , (28)
получения 2-го, 3-го и т.д. (i+1)-го приближения i →∞
х процессов
где xi* – точные решения системы уравнений.
При выполнении условия (28) при любых начальных
приближениях итерационный процесс называется
сходящимся, иначе – расходящийся.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- …
- следующая ›
- последняя »
