Математические задачи в энергетике. Медведева С.Н. - 40 стр.

              ⎧ g11U '1 + g12U ' 2 +... + g1nU ' n +b11U "1 +b12U "2 +... + b1nU "n = J 1 '                        коэффициент при первом уравнении (на –6);
              ⎪                                                                                                    б) получившееся в результате шага 1а уравнение
              ⎪ g 21U '1 + g 22U ' 2 +... + g 2 nU ' n +b21U "1 +b22U "2 +... + b2nU "n = J 2 '                    умножить на коэффициент перед первым членом i-того
              ⎪.....
              ⎪                                                                                                    уравнения с обратным знаком и сложить эти два
              ⎨ g n1U '1 + g n 2U ' 2 +... + g nnU ' n +bn1U "1 +bn12U "2 +... + bnnU "n = J n '                   уравнения. В результате действий первый член в i-том
              ⎪− b U ' −b U ' −... − b U ' + g U " + g U " +... + g U ' = J "
              ⎪ 11 1 12 2                      1n n      11 1     12    2         1n "n        1                   уравнении обратится в 0. (2: 1а×-3, сложить 1а и рез-т)
              ⎪....                                                                                                Шаг 2. Исключить из всех уравнений, начиная с 3-го 2-й
              ⎪                                                                                                    член, для чего
              ⎩− bn1U '1 −bn 2U ' 2 −... − bnnU ' n + g n1U "1 + g n 2U "2 +... + g nnU '"n = J "n
                                                                                                                   а) уравнение 1а переписать без изменений
              Формализовать задачу, т.е. коэффициенты и неизвестные
                                                                                                                   б) для укороченной на 1-й член системы проделать
              записать в общем виде
              ⎧a11U 1 + a12U 2 + ... + a1nU n = c1                                                                 операции шага 1
              ⎪
              ⎪a 21U 1 + a 22U 2 + ... + a 2nU n = c 2                                                            Шаг 3 и далее. Повторять операции шага 2, пока не
              ⎨                                                   (20)
              ⎪....                                                                                               придем к треугольной системе уравнений.
              ⎪⎩a n1U 1 + a n 2U 2 + ... + a nnU n = c n                                                          Действие 3. Обратный ход.
                                                                                                     Схема        =алгоритм без обратного хода:
              Глобально алгоритм разделяется на 2 этапа: прямой ход и
                                                                                                     Жордана      действие1, шаг 1 те же. Начиная с шага 2 проводятся
              обратный. Задача прямого хода – свести систему
                                                                                                                  дополнительные операции с уравнениями от1 до i-1, в
              уравнений к треугольной типа
                                                                                                                  которых проводятся преобразования таким образом,
              ⎧U1 + b12U 2 + ... + b1nU n = b1
              ⎪                                                                                                   чтобы    коэффициент      столбца,    соответствующий
              ⎪     b22U 2 + ... + b2 nU n = b2                                                                   преобразуемому уравнению обратился в 0. Операций еще
              ⎨                                                 (21)
              ⎪....                                                                                               больше, поэтому редко применяется.
              ⎪⎩                    bnnU n = bn                                                      Достоинства  Достоинства: простота, наглядность
             Обратный ход – нахождение решения подстановкой                                          и недостатки Недостатки: возможна большая погрешность, вызванная
             решений снизу                                                                           метода       1) округлением результатов расчетов (диагональный
                                                                                                     Гаусса       элемент близок к нулю – избегаем, но на следующих
             Общее количество действий ≈ n 3 – много!                                                (Жордана)    шагах возможно)
Последовател Прямой ход                                                                                           2) неточностью задания исходных данных. Всегда
ьность       Действие 1. преобразовать матрицу n×n таким образом,                                                 присутствует погрешность в задании параметров
действий при чтобы диагональные элементы были доминирующими,                                                      системы. Как правило, погрешность полученных
выполнении   т.е. по абсолютной величине наибольшими в строке. При                                                решений бывает соизмерима с погрешностью задания
алгоритма    этом столбик переменных перемещается полностью                                                       параметров системы, т.е. коэффициентов матрицы.
единственног Пример: -2u1+3u2-6u3+u4=-6      -6u3-2u1+3u2+u4=-6                                                   Однако могут быть случаи, когда погрешность исх.
о деления              5u1- u2+3u3     =5   3u3+5u1 –u2       =5                                                  данных дает очень большую погрешность решения.
                        u1+7u2     -2u4=1         u1+7u2-2u4=1                                                    Причина     –   плохая     обусловленность    матрицы
                        -u1-2u2+3u3-4u4=-8   3u3 -u1 -2u2 -4u4=-8                                                 коэффициентов, признаком кторой является малость
             Действие 2. Прямой ход.                                                                              определителя матрицы относительно оценки Адамара
             Шаг 1. Исключаем из всех уравнений, начиная со
             второго, первый член, для чего
             а) разделить все коэффициенты и свободный член на