ВУЗ:
Составители:
Многочлен D(p) при подстановке
ω
=
j
p
представляет собой
вектор, который называется характеристическим:
))...()(()(
210 n
pjpjpjajD −ω
−
ω
−
ω=ω .
Модуль D(jω) равен произведению модулей векторов, а фаза или
аргумент – сумме аргументов отдельных векторов
)arg(...)arg()arg()(arg
21 n
pjpjpjjD
−
ω
+
+
−ω+
−
ω
=ω .
Если все корни лежат в левой полуплоскости, то
∞
≤
ω
≤
∞−π
=
ω
Δ при)(arg njD . (1)
Если среди корней характеристического уравнения m корней лежат
в левой полуплоскости, а (n-m) корней – в в левой полуплоскости, то
при изменении ω от –∞ до +∞ приращение аргумента
()
π
−=ω
Δ
mnjD 2)(arg
Таким образом, правило аргумента гласит: приращение аргумента
D(jω) при изменении ω от –∞ до +∞ равно разности между числом (n-m)
корней характеристического уравнения, расположенных в левой
полуплоскости, и числом m корней, лежащих в правой полуплоскости,
помноженной на π.
Для устойчивой системы необходимо, чтобы выполнялось условие
(1). При практическом использовании этого правила обычно разделяют
действительную и мнимую части вектора D(jω):
)()()(
ω
+
ω
=
ω
jVUjD .
Вектор )(
ω
jD , изображенный в декартовых координатах, при
изменении ω от –∞ до +∞ вращается и концом описывает кривую,
которая называется характеристической кривой или годографом
характеристического уравнения.
Многочлен U(ω)=a
n
+a
n-2
(jω)
2
+a
n-4
(jω)
4
+… является четным
относительно ω, т.е. U(ω)=U(-ω), а V(ω)=a
n-1
jω+a
n-3
(jω)
2
+a
n-5
(jω)
5
+…
является нечетным относительно ω, т.е. V(ω)=-V(-ω). Отсюда следует,
что годограф симметричен относительно действительной оси. Учитывая
это, сформулируем критерий Михайлова в следующем виде: система
будет устойчива тогда и только тогда, когда при возрастании ω от 0
до ∞ вектор D(jω) повернется на угол на 0.5πn, где n–степень
характеристического уравнения, или, что тоже самое, если при
увеличении ω от 0 до ∞ годограф, начинаясь на положительной части
действительной оси, проходит последовательно в положительном
направлении n квадрантов.
Из данной формулировки следует, что
1) U(0)=a
n
>0, начало годографа лежит на положительной части
действительной оси;
2) V’(0)=a
n-1
>0, где V’(ω)–первая производная …
3) все корни уравнений U(ω)=0 и V(ω)=0 действительные и
перемежающиеся, т.е. между любыми двумя соседними корнями
уравнения V(ω)=0 лежит один корень U(ω)=0. Существование
комплексных корней уравнений U(ω)=0 и V(ω)=0, либо отсутствие
перемежаемости корней этих уравнений свидетельствует о
неустойчивости системы
.
Примеры типичных годографов устойчивых и неустойчивых
систем:
Нулевой корень = кривая Михайлова начинается из начала
координат; пара мнимых корней = кривая проходит через начало
координат при ω=ω
0
.
Пример годографа систем на границе устойчивости:
Im Im
Re Re
D( jω) = U (ω) + jV (ω) .
Im Im Вектор D( jω) , изображенный в декартовых координатах, при
изменении ω от –∞ до +∞ вращается и концом описывает кривую,
которая называется характеристической кривой или годографом
характеристического уравнения.
2 4
Многочлен U(ω)=an+an-2(jω) +an-4(jω) +… является четным
2 5
относительно ω, т.е. U(ω)=U(-ω), а V(ω)=an-1jω+an-3(jω) +an-5(jω) +…
является нечетным относительно ω, т.е. V(ω)=-V(-ω). Отсюда следует,
что годограф симметричен относительно действительной оси. Учитывая
это, сформулируем критерий Михайлова в следующем виде: система
Re Re
будет устойчива тогда и только тогда, когда при возрастании ω от 0
до ∞ вектор D(jω) повернется на угол на 0.5πn, где n–степень
характеристического уравнения, или, что тоже самое, если при
Многочлен D(p) при подстановке p = jω представляет собой увеличении ω от 0 до ∞ годограф, начинаясь на положительной части
действительной оси, проходит последовательно в положительном
вектор, который называется характеристическим:
направлении n квадрантов.
D ( jω) = a0 ( jω − p1 )( jω − p 2 )...( jω − p n ) . Из данной формулировки следует, что
Модуль D(jω) равен произведению модулей векторов, а фаза или 1) U(0)=an>0, начало годографа лежит на положительной части
аргумент – сумме аргументов отдельных векторов действительной оси;
arg D( jω) = arg( jω − p1 ) + arg( jω − p 2 ) + ... + arg( jω − p n ) . 2) V’(0)=an-1>0, где V’(ω)–первая производная …
Если все корни лежат в левой полуплоскости, то 3) все корни уравнений U(ω)=0 и V(ω)=0 действительные и
Δ arg D( jω) = nπ при − ∞ ≤ ω ≤ ∞ . (1) перемежающиеся, т.е. между любыми двумя соседними корнями
Если среди корней характеристического уравнения m корней лежат уравнения V(ω)=0 лежит один корень U(ω)=0. Существование
в левой полуплоскости, а (n-m) корней – в в левой полуплоскости, то комплексных корней уравнений U(ω)=0 и V(ω)=0, либо отсутствие
при изменении ω от –∞ до +∞ приращение аргумента перемежаемости корней этих уравнений свидетельствует о
Δ arg D( jω) = (n − 2m )π неустойчивости системы.
Таким образом, правило аргумента гласит: приращение аргумента Примеры типичных годографов устойчивых и неустойчивых
D(jω) при изменении ω от –∞ до +∞ равно разности между числом (n-m) систем:
корней характеристического уравнения, расположенных в левой Нулевой корень = кривая Михайлова начинается из начала
полуплоскости, и числом m корней, лежащих в правой полуплоскости, координат; пара мнимых корней = кривая проходит через начало
помноженной на π. координат при ω=ω0.
Для устойчивой системы необходимо, чтобы выполнялось условие Пример годографа систем на границе устойчивости:
(1). При практическом использовании этого правила обычно разделяют
действительную и мнимую части вектора D(jω):
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- …
- следующая ›
- последняя »
