ВУЗ:
Составители:
Математическая постановка задачи: Дана замкнутая система,
характеристический многочлен которого записан в виде
0)(П...)(П)(П)()(
22110
=
+
+
+
+
= pDpDpDpDpD
kk
где D
0
(p), D
1
(p), …, D
k
(p) – заданные полиномы, П
1
, П
2
,…, П
k
-
выделенные параметры системы.
Определить все значения П
1
, П
2
,…, П
k
, при которых система
устойчива, т.е. найти область устойчивости в пространстве параметров
системы.
В зависимости от числа выделенных параметров метод решения
называют методом разбиения по 3, 2 или 1 параметру. (Больше может
быть, но редко).
D-разбиение по двум параметрам – наиболее распространенный
случай. Коэффициенты входят в характеристический многочлен
линейно.
Характеристическое уравнение системы
0)(П)(П)()(
22110
=
+
+
=
pDpDpDpD (1)
Найдем значения П
1
и П
2
, при которых хар. уравнение имеет пару
чисто мнимых корней. Для этого p=jω, тогда
0)(П)(П)()(
22110
=
ω
+
ω+ω
=
ω
jDjDjDjD (2)
Разделим на действ. и мнимую части:
⎭
⎬
⎫
ω−=ω+ω
ω−=ω+ω
)()(П)(П
)()(П)(П
22112
11112
RQP
RQP
(3)
Здесь
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
ω=ωω=ω
ω=ωω=ω
ω=ωω=ω
)(Im)();(Re)(
)(Im)();(Re)(
)(Im)();(Re)(
0201
1211
2221
jDRjDR
jDQjDQ
jDPjDP
(4)
Решаем систему по правилу Крамера
П
2
=Δ
2
/Δ; П
1
=Δ
1
/Δ; (5)
где определители находят как определители системы (3).
Как главный определитель, так и определители Δ
1
и Δ
2
являются
нечетными функциями от ω. Тогда коэффициенты П
1
и П
2
являются
четными, т.е. каждой точке кривой D-разбиения соответствует пара
корней и что кривые при изменении частоты от 0 до ∞ и от -∞ до 0
накладываются друг на друга.
Особые прямые.
При изменении ω главный определитель может
менять знак. Прохождение определителя через 0 соответствует двум
случаям:
1) при Δ=0 Δ
1
и Δ
2
конечны и не равны нулю. Тогда П
1
и П
2
обращаются в бесконечность;
2) при Δ=0 Δ
1
=Δ
2
=0. Тогда П
1
и П
2
становятся неопределенными,
что соответствует случаю, когда уравнения (3) пропорционально
линейны, т.е. можно вместо двух можно записать одно
)()(П)(П
11112
ω
−
=
ω
+
ω
RQP (6)
Соотношение (6) определяет в плоскости коэффициентов для
некоторого фиксированного значения частоты положение линии,
называемой особой прямой
.
Чтобы получить особые прямые, необходимо:
1) приравнять нулю а
0
, если оно зависит от П
1
и П
2
и получить
уравнение особой прямой при ω=∞;
2) приравнять нулю а
n
, если оно зависит от П
1
и П
2
и получить
уравнение особой прямой при ω=0;
3) найти все отличные от нуля значения ω, при которых обращаются
одновременно в 0 все детерминанты Δ, Δ
1
и Δ
2
. Особые прямые
соответствуют уравнениям (6).
Штриховка границ D-разбиения
. Кривая D-разбиения и особые
прямые разбивают плоскость параметров на области с различным
числом корней в правой полуплоскости. Для разметки областей D(m)
применяют правило штриховки:
при обходе в сторону возрастающих частот (от –
∞
до +
∞
) кривая
D-разбиения штрихуется слева, если главный определитель
положителен, и справа, если отрицателен.
Особые прямые также нужно заштриховать. Направление их
штриховки увязывается с направлением штриховки границы D-
разбиения в точках, для которых построены особые прямые.
Для понимания – примеры.
1) Если Δ(ω)=0 Δ
1
(ω)=Δ
2
(ω)=0 при ω≠0, то в точке пересечения с D-
кривой штриховка меняется так, чтобы заштрихованные стороны
прямой и D-кривой были направлены друг к другу.
2)
Математическая постановка задачи: Дана замкнутая система, Особые прямые. При изменении ω главный определитель может
характеристический многочлен которого записан в виде менять знак. Прохождение определителя через 0 соответствует двум
D ( p ) = D0 ( p) + П1 D1 ( p) + П 2 D2 ( p) + ... + П k Dk ( p) = 0 случаям:
где D0(p), D1(p), …, Dk(p) – заданные полиномы, П1, П2,…, Пk - 1) при Δ=0 Δ1 и Δ2 конечны и не равны нулю. Тогда П1 и П2
выделенные параметры системы. обращаются в бесконечность;
Определить все значения П1, П2,…, Пk, при которых система 2) при Δ=0 Δ1=Δ2=0. Тогда П1 и П2 становятся неопределенными,
что соответствует случаю, когда уравнения (3) пропорционально
устойчива, т.е. найти область устойчивости в пространстве параметров
линейны, т.е. можно вместо двух можно записать одно
системы.
В зависимости от числа выделенных параметров метод решения П 2 P1 (ω) + П1Q1 (ω) = − R1 (ω) (6)
называют методом разбиения по 3, 2 или 1 параметру. (Больше может Соотношение (6) определяет в плоскости коэффициентов для
быть, но редко). некоторого фиксированного значения частоты положение линии,
D-разбиение по двум параметрам – наиболее распространенный называемой особой прямой.
случай. Коэффициенты входят в характеристический многочлен Чтобы получить особые прямые, необходимо:
линейно. 1) приравнять нулю а0, если оно зависит от П1 и П2 и получить
Характеристическое уравнение системы уравнение особой прямой при ω=∞;
D( p ) = D0 ( p) + П1 D1 ( p) + П 2 D2 ( p ) = 0 (1) 2) приравнять нулю аn, если оно зависит от П1 и П2 и получить
Найдем значения П1 и П2, при которых хар. уравнение имеет пару уравнение особой прямой при ω=0;
чисто мнимых корней. Для этого p=jω, тогда 3) найти все отличные от нуля значения ω, при которых обращаются
D( jω) = D0 ( jω) + П1 D1 ( jω) + П 2 D2 ( jω) = 0 (2) одновременно в 0 все детерминанты Δ, Δ1 и Δ2. Особые прямые
соответствуют уравнениям (6).
Разделим на действ. и мнимую части:
Штриховка границ D-разбиения. Кривая D-разбиения и особые
П 2 P1 (ω) + П1Q1 (ω) = − R1 (ω) ⎫ прямые разбивают плоскость параметров на области с различным
(3)
П 2 P1 (ω) + П1Q2 (ω) = − R2 (ω)⎬⎭ числом корней в правой полуплоскости. Для разметки областей D(m)
Здесь применяют правило штриховки:
P1 (ω) = Re D2 ( jω); P2 (ω) = Im D2 ( jω) ⎫ при обходе в сторону возрастающих частот (от –∞ до +∞) кривая
⎪
Q1 (ω) = Re D1 ( jω); Q2 (ω) = Im D1 ( jω) ⎬ (4) D-разбиения штрихуется слева, если главный определитель
R1 (ω) = Re D0 ( jω); R2 (ω) = Im D0 ( jω)⎭ ⎪ положителен, и справа, если отрицателен.
Решаем систему по правилу Крамера Особые прямые также нужно заштриховать. Направление их
П2=Δ2/Δ; П1=Δ1/Δ; (5) штриховки увязывается с направлением штриховки границы D-
где определители находят как определители системы (3). разбиения в точках, для которых построены особые прямые.
Для понимания – примеры.
Как главный определитель, так и определители Δ1 и Δ2 являются
1) Если Δ(ω)=0 Δ1(ω)=Δ2(ω)=0 при ω≠0, то в точке пересечения с D-
нечетными функциями от ω. Тогда коэффициенты П1 и П2 являются
кривой штриховка меняется так, чтобы заштрихованные стороны
четными, т.е. каждой точке кривой D-разбиения соответствует пара
прямой и D-кривой были направлены друг к другу.
корней и что кривые при изменении частоты от 0 до ∞ и от -∞ до 0
2)
накладываются друг на друга.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- …
- следующая ›
- последняя »
