ВУЗ:
Составители:
Тема: Методы решения дифференциальных уравнений
Решение с помощью рядов Тейлора.
Если функция f(x) обладает на промежутке (х
0
,х) производными до
(n+1) порядка включительно, то функция может быть разложена в ряд
ξ+−++−+−+=
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xx
xf
xfxf )(
!
)(
..)(
!2
)("
)(
!1
)('
)()(
0
0
)(
2
0
0
0
0
0
гд
е ξ– остаточный член, если его представить по аналогии через
производную, то в форме Лагранжа.
Ряд без остаточного члена называется рядом Тейлора.
Преобразуем ряд Тейлора в формулу конечных приращений
n
n
x
n
xf
x
xf
x
xf
xfxxf )(
!
)(
..)(
!2
)("
!1
)('
)()(
)(
2
Δ++Δ+Δ+=Δ+ , (1)
где Δх=х-х
0
.
Практически мы получили итерационную формулу, поскольку по
ней можно просчитать значения функции на заданном интервале.
Достоинство ряда (1) в том, что с его помощью можно получить
аналитическое решение дифференциального уравнения.
Дано дифференциальное уравнение )()(' xxf
ϕ
=
при начальных
условиях х=х
0
, у=у
0
.
Продифференцировав n раз зависимость )()(' xxf
ϕ
=
, получим
выражения в алгебраическом виде для коэффициентов ряда Тейлора.
Пример 1
. С помощью ряда Тейлора найти решение дифф.
уравнения
x
y
+
=
1
1
' при у(0)=0 в виде алгебраического выражения.
Решение.
n
nn
x
n
y
x
y
x
y
)1(
)!1(
)1(
)1(
21
"'
)1(
1
"
1)(
32
+
−
−=
+
⋅
=
+
−=
−
.
Для х
0
=0 имеем
nn
yyy
n
n
1
)1(
!
)0(
3
1
!3
)0("'
2
1
!2
)0("
1
)(
−
−==−= . Δх=х.
Тогда решением ДУ будет
n
n
x
n
xxxy
1
32
)1(
..
3
1
2
1
−
−
+−+−≈
.
Достоинство этого метода в возможности получения аналитического
решения.
Недостатки:
1.
Переменные должны быть разделены.
2.
Зависимость д.б. дифференцируема достаточно высокое число
раз и требуется брать и вычислять производные высоких
порядков.
3.
Погрешность решения очень мала для начала интервала и резко
возрастает у конца, т.е. погрешность неравномерна на всем
интервале решения.
Метод Эйлера.
Дано дифференциальное уравнение ),(' yxfy
=
при начальных
условиях х=х
0
, у=у
0
.
Требуется
найти его решение в некотором промежутке х
0
,х.
Делим этот промежуток на n частей (равных или неравных, чаще
равных).
На участке (х
0
,х
1
) полагаем
)(),(
0000
xxyxfyy −⋅
+
=
т.е. вместо искомой интегральной
кривой М
0
К
0
берем ее касательную
М
0
М
1
.
В точке х
1
получаем
приближенное значение искомого
решения
)(),(
010001
xxyxfyy −
⋅
+
=
.
Далее повторяем на участке
(х
1
,х
2
)
)(),(
1111
xxyxfyy −⋅
+
=
т.е. вместо искомой интегральной кривой М
0
К
0
берем ее касательную
М
1
М
2
к интегральной кривой М
1
К
1
. При этом возникает двойная
погрешность.
Продолжаем процесс, для точки х
i
получаем приближенное значение
искомого решения
xyxfyy
iiii
Δ
⋅
+
=
+
),(
1
. (2)
Формула (2) – формула итерац. процесса по методу Эйлера.
Достоинство: более общий вид ДУ, без разделения переменных
Тема: Методы решения дифференциальных уравнений Недостатки:
1. Переменные должны быть разделены.
Решение с помощью рядов Тейлора. 2. Зависимость д.б. дифференцируема достаточно высокое число
Если функция f(x) обладает на промежутке (х0,х) производными до раз и требуется брать и вычислять производные высоких
(n+1) порядка включительно, то функция может быть разложена в ряд порядков.
f ' ( x0 ) f "( x0 ) 2 f (n) ( x0 ) 3. Погрешность решения очень мала для начала интервала и резко
f ( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) + ( x − x0 ) + .. + ( x − x0 ) n + ξ гд возрастает у конца, т.е. погрешность неравномерна на всем
1! 2! n!
интервале решения.
е ξ– остаточный член, если его представить по аналогии через
производную, то в форме Лагранжа. Метод Эйлера.
Ряд без остаточного члена называется рядом Тейлора. Дано дифференциальное уравнение y ' = f ( x, y ) при начальных
Преобразуем ряд Тейлора в формулу конечных приращений
условиях х=х0, у=у0.
f ' ( x) f " ( x) f (n) ( x) Требуется найти его решение в некотором промежутке х0,х.
f ( x + Δx) = f ( x) + Δx + (Δx) 2 + .. + (Δx) n , (1)
1! 2! n! Делим этот промежуток на n частей (равных или неравных, чаще
где Δх=х-х0. равных).
Практически мы получили итерационную формулу, поскольку по На участке (х0,х1) полагаем
ней можно просчитать значения функции на заданном интервале. y = y 0 + f ( x0 , y 0 ) ⋅ ( x − x0 )
Достоинство ряда (1) в том, что с его помощью можно получить т.е. вместо искомой интегральной
аналитическое решение дифференциального уравнения. кривой М0К0 берем ее касательную
Дано дифференциальное уравнение f ' ( x) = ϕ( x) при начальных М0 М1 .
условиях х=х0, у=у0. В точке х1 получаем
Продифференцировав n раз зависимость f ' ( x) = ϕ( x) , получим приближенное значение искомого
выражения в алгебраическом виде для коэффициентов ряда Тейлора. решения
Пример 1. С помощью ряда Тейлора найти решение дифф. y1 = y 0 + f ( x0 , y 0 ) ⋅ ( x1 − x0 ) .
1 Далее повторяем на участке
уравнения y ' = при у(0)=0 в виде алгебраического выражения.
1+ x (х1,х2)
1 1⋅ 2 (n − 1)! y = y1 + f ( x1 , y1 ) ⋅ ( x − x1 )
Решение. y" = − y'" = y ( n) = (−1) n −1 .
2 3
(1 + x) (1 + x) (1 + x) n т.е. вместо искомой интегральной кривой М0К0 берем ее касательную
М1М2 к интегральной кривой М1К1. При этом возникает двойная
y" (0) 1 y ' " ( 0) 1 y ( n ) ( 0) 1
Для х0=0 имеем =− = = (−1) n −1 . Δх=х. погрешность.
2! 2 3! 3 n! n Продолжаем процесс, для точки хi получаем приближенное значение
1 2 1 3 (−1) n −1 n искомого решения
Тогда решением ДУ будет y ≈ x − x + x − .. + x .
2 3 n yi +1 = yi + f ( xi , yi ) ⋅ Δx . (2)
Достоинство этого метода в возможности получения аналитического Формула (2) – формула итерац. процесса по методу Эйлера.
решения. Достоинство: более общий вид ДУ, без разделения переменных
