ВУЗ:
Составители:
Недостатки: низкая точность, высокая погрешность,
пропорциональная квадрату шага по х. Погрешность равномерно растет
на интервале решения. Уменьшить ее можно, уменьшив шаг по х, но
возрастет число шагов итерации.
Модифицированный метод Эйлера.
Второго порядка точности, погрешность пропорциональна кубу
шага по х.
Итерационные формулы имеют вид:
2/),(
2/1
xyxfyy
iiii
Δ⋅
+
=
+
, (y
0
=u
0
) (3)
xy
x
xfyy
iiii
Δ⋅
Δ
++=
++
),
2
(
2/11
.
Метод Рунге-Кутта 2 порядка.
(другое название «предиктор-корректор»)
xyxfyy
iii
i
Δ⋅+=
+
),(
*
1
(y
0
=u
0
) (4)
2
),(),(
*
1
1
1+
+
+
+
⋅Δ+=
i
yxfyxf
xyy
iii
ii
.
Первая из формул этого метода предсказывает грубое значение по
методу Эйлера, а вторая формула уточняет (корректирует) решение.
Локальная погрешность данного метода пропорциональна кубу шага по
х.
Метод Рунге-Кутта 4 порядка.
(наиболее применим на практике)
)22(
6
1
43211
kkkkyy
ii
+++⋅+=
+
(y
0
=u
0
) (4)
где
x
k
y
x
xfkxyxfk
iiii
Δ⋅+
Δ
+=Δ⋅= )
2
,
2
(),(
1
21
xkyxxfkx
k
y
x
xfk
iiii
Δ⋅+Δ+=Δ⋅+
Δ
+= ),()
2
,
2
(
34
2
3
Локальная погрешность данного метода пропорциональна пятой
степени шага по х.
Метод Адамса.
Известны с шагом Δх приближенные решения задачи
iini
yyy ,,..,
1−−
.
При разложении в ряд Тейлора погрешность составляла величину,
равную многочлену Лагранжа. Метод Адамса основан на использовании
этого остаточного члена.
Формула должна была бы принять вид
∫
+
⋅Δ+=
+
1
)(
1
i
i
x
x
nii
dxxLxyy .
Интерполяционный многочлен Лагранжа степени n
∑
=
−
=
n
i
ijnin
fxpxL
0
)()(
Тогда итерационная формула метода Адамса принимает вид
∑
=
−+
α⋅Δ+=
n
i
ijniii
fxyy
0
1
(5)
где
∫
+
=α
1
)(
1
i
i
x
x
nini
dxxp
h
определяются из выражения
))..()()..((
))..()()..((
)(
110
110
niiiiii
nii
ni
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xp
−−−−
−
−
−
−
=
+−
+−
и являются вполне определенными постоянными
.8/3;24/37;24/59;24/55
;12/5;3/4;12/23
;2/1;2/3
;1
33323130
222120
1110
00
−=α=α−=α=α
=α−=α=α
−=α=α
=
α
.
Локальная погрешность данного метода пропорциональна пятой
степени шага по х.
Недостаток: метод Адамса требует знания приближенного решения
в нескольких точках.
Недостатки: низкая точность, высокая погрешность, Известны с шагом Δх приближенные решения задачи
пропорциональная квадрату шага по х. Погрешность равномерно растет yi − n ,.., yi −1 , yi .
на интервале решения. Уменьшить ее можно, уменьшив шаг по х, но При разложении в ряд Тейлора погрешность составляла величину,
возрастет число шагов итерации. равную многочлену Лагранжа. Метод Адамса основан на использовании
этого остаточного члена.
Модифицированный метод Эйлера. Формула должна была бы принять вид
Второго порядка точности, погрешность пропорциональна кубу x i +1
шага по х.
Итерационные формулы имеют вид:
yi +1 = yi + Δx ⋅ ∫ Ln ( x)dx .
xi
yi +1 / 2 = yi + f ( xi , yi ) ⋅ Δx / 2 , (y0=u0) (3)
Интерполяционный многочлен Лагранжа степени n
Δx n
y i + 1 = y i + f ( xi + , yi +1 / 2 ) ⋅ Δx .
2 Ln ( x ) = ∑ p ni ( x) f j − i
i =0
Метод Рунге-Кутта 2 порядка. Тогда итерационная формула метода Адамса принимает вид
(другое название «предиктор-корректор») n
yi +1 = yi + Δx ⋅ ∑ α ni f j − i (5)
y *i +1 = yi + f ( xi , yi ) ⋅ Δx (y0=u0) (4) i =0
x
f ( xi , yi ) + f ( xi +1 , y *i +1 ) 1 i +1
h x∫
yi +1 = yi + Δx ⋅ . где α ni = p ni ( x)dx
2 i
Первая из формул этого метода предсказывает грубое значение по определяются из выражения
методу Эйлера, а вторая формула уточняет (корректирует) решение. ( x − x0 )..( x − xi −1 )( x − xi +1 )..( x − x n )
Локальная погрешность данного метода пропорциональна кубу шага по p ni ( x) =
х. ( xi − x0 )..( xi − xi −1 )( xi − xi +1 )..( xi − x n )
и являются вполне определенными постоянными
Метод Рунге-Кутта 4 порядка. α 00 = 1;
(наиболее применим на практике) α10 = 3 / 2; α11 = −1 / 2;
1 .
yi +1 = yi + ⋅ (k1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) (y0=u0) (4) α 20 = 23 / 12; α 21 = −4 / 3; α 22 = 5 / 12;
6
Δx k α 30 = 55 / 24; α 31 = −59 / 24; α 32 = 37 / 24; α 33 = −3 / 8.
где k1 = f ( xi , yi ) ⋅ Δx k 2 = f ( xi + , yi + 1 ) ⋅ Δx Локальная погрешность данного метода пропорциональна пятой
2 2
степени шага по х.
Δx k
k 3 = f ( xi + , y i + 2 ) ⋅ Δx k 4 = f ( x i + Δx , y i + k 3 ) ⋅ Δx Недостаток: метод Адамса требует знания приближенного решения
2 2 в нескольких точках.
Локальная погрешность данного метода пропорциональна пятой
степени шага по х.
Метод Адамса.
