Физические основы микросистемной техники. Механцев Е.Б - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

8
вид:
.4
ρπ
⋅⋅=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
E
y
E
x
E
z
y
x
(1.21)
Это дифференциальное уравнение связывает дивергенцию вектора элек-
трического поля (плотности источника поля) в каждой точке поля с величиной
объемной плотности заряда в той же точке и является одним из основных урав-
нений электростатики.
Чтобы установить связь между плотностью заряда, создающего поле, и
потенциалом, необходимо образовать дивергенцию от обеих частей уравнения
(1.19). Тогда, с учетом (1.21) получим:
ρ
π
ϕ
⋅
⋅
−
=
−
=
4Edivdivgrad . (1.22)
Раскрывая левую часть выражения (1.22) по правилам векторного анализа
получим
.4
2
2
2
2
2
2
ρπ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
⋅⋅−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
zyx
divgrad
z
y
x
(1.23)
Используя сокращенную запись оператора второго порядка дифференци-
рования (оператор Лапласа), выражение (1.23) можно представить в виде
.4
ρ
π
ϕ
−
=
∆
(1.24)
Это дифференциальное уравнение носит название уравнения Пуассона и
является одним из фундаментальных уравнений теории электричества.
На участках поля, где объемные заряды отсутствуют, т.е.
ρ
=0, уравнение
упрощается к виду
0
=
∆
ϕ
(1.25)
и носит название уравнения Лапласа.
Уравнение Пуассона позволяет рассчитать распределение потенциала
ϕ
и напряженности поля (grad
ϕ
), если известно расположение зарядов – источ-
ников поля. Уравнение Лапласа обычно используется в тех случаях, когда ис-
точниками поля являются металлические электроды, потенциалы которых за-
даны.
В простейших случаях потенциал может быть вычислен и непосредст-
венно при определении работы, которую совершает пробный заряд, переме-
щающийся в поле. Так можно показать, что
для точечного заряда q, поле кото-
рого выражается формулой (1.4), его потенциал описывается выражением
R
q
=
ϕ
, (1.26)
причем значение потенциала при R→
∞
равно нулю.
Эквипотенциальные поверхности в таком поле образуют концентриче-
ские сферы, потенциал которых описывается выражением (1.26). Отсюда мож-
но сделать вывод, что сфера, имеющая заряд q и радиус a, будет иметь потен-
циал
ϕ
, значение которого можно вычислить по выражению (1.26) при R=a.
При R>a поле, создаваемое такой сферой, не будет отличаться от поля, созда-
ваемого точеным зарядом, находящемся в его центре. Если сферу заменить
сплошным металлическим шаром того же радиуса a, внешнее поле не изменит-

Страницы