Уравнения математической физики. Меньших О.Ф. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

и учтем краевые условия (75):
()()
00
1
3ln111cos11sin
nn n n
nn n n
n
A
BABnCDn
ϕ
ϕ
∞
−−
=
⎡⎤
=+ + + + +
⎢⎥
⎣⎦
∑
,
()(
11 1 1
0
1
233cos33
3
nn n n
nn n n
n
B
nA nB n nC nD n
)
sin
ϕ
ϕ
∞
−−− −−−
=
⎡⎤
=+ − + −
⎢⎥
⎣⎦
∑
.
Отсюда следует, что
0
nn
AB
+
=
,
11
33
nn
nn
0n B
−−−
nA
−
=
и
0
nn
CD
+
=
,
11
33
nn
nn
0n D
−−−
nC
−
=
=
,
где
1, 2, ...
n =
Эти системы имеют только нулевые решения, так что
0, 0, 0, 0
nn n n
ABC D===
(
1, 2, 3, ...
n
=
),
0
3A
, .
0
6B =
Таким образом, решение задачи (74) – (75) есть
(
)
, 3 6lnvr r
ϕ
=
+
. (78)
Рассмотрим уравнение (76) при условиях (77). Будем искать решение этого
уравнения в виде
()
(
)
, cos2wr f r
ϕ
ϕ
=
.
Подставив данное выражение в уравнение (76), получим краевую задачу
для функции
:
()
rf
(
)
(
)
(
)
23
'' 4rf r rf r fr r
′
+
−=
, (79)
1
0, 0
rr
ff
==
3
′
=
=
. (80)
Таким образом, мы свели решение краевой задачи (76) – (77) в частных
производных к решению краевой задачи (79) – (80) для обыкновенного ли-
нейного дифференциального уравнения (79) (уравнения Эйлера).
Общее решение однородного уравнения
()
(
)
(
)
2
'' 4 0rf r rf r fr
′
+
−=
46

Страницы