Уравнения математической физики. Меньших О.Ф. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

где
Обозначим
1, 2, 3, ...
n =
00
, ,
nnn
E
GAEKBA ac===
,
, ,
nnnnnnnn
BadCbcDbd===
n
и составим ряд
(
)
00
, lnur A B r
ϕ
=
++
()()
1
cos sin .
nn n n
nn n n
n
A
rBr n CrDr n
ϕ
ϕ
∞
−−
=
⎡⎤
++ ++
⎢⎥
⎣⎦
∑
(70)
Отыскав постоянные
00
, , , , ,
nnn n
A
BABCD
с помощью краевых условий, получим искомое решение уравнения Лапласа в
круге или кольце.
Структура решения уравнения Пуассона при однородных граничных ус-
ловиях определяется правой частью этого уравнения. С деталями можно оз-
накомиться в процессе решения следующей задачи.
9.
Решить краевую задачу для уравнения Пуассона в кольце:
22
22
xx yy
x
y
uu
y
−
+=
+
, (71)
13r
≤
≤
,
1
3
3, 2
r
r
u
u
r
=
=
∂
=
=
∂
. (72)
Решение.
Введем полярные координаты (
,
r
ϕ
) с помощью соотношений
cos ,
sin .
xr
yr
ϕ
ϕ
=
⎧
⎨
=
⎩
Тогда уравнение Пуассона (71) примет вид
22 22
2
11 cos sin
rr r
rr
uu u
rr
r
ϕϕ
ϕ
ϕ
−
++ =
,
то есть
44

Страницы