Уравнения математической физики. Меньших О.Ф. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

8.
Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге:
0,
u
∆
=
04r
≤
<
,
3
4
|17sin
r
u
ϕ
=
=
.
Решение.
Это внутренняя задача Дирихле для уравнения Лапласа
0
xx yy
uu
+
=
в круге, причем на границе круга радиуса
4
R
=
задано условие
3
4
|17sin
r
u
ϕ
=
,
где функция
(
)
3
17sinf
ϕ
ϕ
=
непрерывна и имеет период
2
π
. Коэффициенты
Фурье
0
A
,
n
A
и ряда (69) можно определить по формулам:
n
B
()
0
1
,
A
fd
π
π
ϕ
ϕ
π
−
=
∫
()
1
cos ,
4
n
n
A
fnd
π
π
ϕ
ϕϕ
π
−
=
∫
()
1
sin .
4
n
n
B
fnd
π
π
ϕ
ϕϕ
π
−
=
∫
Однако в данном случае эти коэффициенты могут быть найдены более
простым способом. Запишем функцию
()
f
ϕ
в виде
3
31
( ) 17sin 17 sin sin3
44
f
ϕ
ϕϕ
⎛⎞
== −
⎜⎟
⎝⎠
ϕ
и учтем, что должно быть справедливо соотношение
()
0
1
() 4, ( cos sin )4.
2
n
nn
n
A
fu AnBn
ϕϕ ϕ ϕ
∞
=
==+ +
∑
42

Страницы