Уравнения математической физики. Меньших О.Ф. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

''( ) '( ) 0
rr r
Ψ
+Ψ =
.
Поэтому в данном случае
()(ln
uEFGKr
)
ϕ
=
++
, (68)
где E, F, G, K – постоянные.
Из соотношения (61) следует, что в равенстве (67)
λ
может принимать
только целые значения. В формуле (67)
, , ,
A
BCD
−
произвольные постоян-
ные. Если заменить
λ
на (
λ
−
), то структура решения (67) не изменится. По-
этому достаточно считать, что здесь параметр
λ
принимает натуральные
значения.
Из условия (61) следует также, что в равенстве (68)
. Так как иско-
мое решение должно быть конечным и непрерывным в центре круга, то в со-
отношениях (67) и (68)
. Обозначая
0F =
0DK==
0
,
,
2
nn
AC A BC B EG== =
,
получим решение при
в виде
1, 2, 3, ...
n =
(, ) ( cos sin )
n
nnn
ur A n B nr
ϕϕ
=+
ϕ
.
При этом
0
0
(, )
2
A
ur
ϕ
=
.
В силу линейности и однородности уравнения (62) сумма
0
1
(, ) ( cos sin )
2
n
nn
n
A
ur A n B n r
ϕϕϕ
∞
=
=+ +
∑
(69)
также является его решением. Из условия (60) следует равенство
0
1
() ( cos sin )
2
n
nn
n
A
f
AnBnR
ϕϕϕ
∞
=
=+ +
∑
,
где
2
0
1
()cos
n
n
A
fnd
R
π
ϕ
ϕϕ
π
=
∫
0, 1, 2, ...
n
,
=
2
0
1
()sin .
n
n
B
fn
R
d
π
ϕ
ϕϕ
π
=
∫
41

Страницы