Уравнения математической физики. Меньших О.Ф. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

откуда
2
''( ) ''( ) '( )
() ()
rrrr
r
ϕ
ϕ
ΦΨ+Ψ
=−
ΦΨ
. (64)
Так как левая часть уравнения (64) является функцией одной независимой
переменной, а правая – другой, то обе эти части равны некоторой постоянной.
Обозначая ее
2
()
λ
−
, получим два уравнения:
22
''( ) '( ) ( ) 0rrrr r
λ
Ψ+Ψ−Ψ=
(65)
и
2
''( ) ( ) 0
ϕλ ϕ
Φ+Φ=
. (66)
При
0
λ
≠
соотношение (65) представляет собой однородное уравнение
Эйлера, решением которого является функция
()
m
rr
Ψ
=
.
Подставляя в (65), находим
2212
(1)
mmm
rmm r rmr r
λ
−−
−+ − 0=
.
Приводя подобные члены и сокращая на
, получим
m
r
22
0m
λ
−
=
,
или
m
λ
=±
, так что общее решение уравнения (65) есть
()rCr Dr
λ
λ
−
Ψ= +
,
где С и D – постоянные.
Если
0
λ
≠
, то уравнение (66) имеет решение
() cos sin
B
ϕ
λϕ λϕ
Φ= +
(А и В – постоянные). Согласно (63), в этом случае
(cos sin )( )uA B Cr Dr
λ
λ
λϕ λϕ
−
=+ +
. (67)
Если
0
λ
=
, то уравнения (66) и (65) соответственно принимают вид:
''( ) 0
ϕ
Φ
=
и
40

Страницы