Уравнения математической физики. Меньших О.Ф. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

4 КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В КРУГЕ И КОЛЬЦЕ
4.1 Задача Дирихле для уравнения Лапласа
Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге может быть задана в сле-
дующей форме:
22
22
0
uu
xy
∂∂
+
=
∂∂
, (59)
(),
rR
uf
ϕ
=
=
(60)
(, 2 ) (, 0)ur ur
π
=
, (61)
[0, ], [0, 2 ]
rR
ϕ
π
∈
∈
,
где
(, )r
ϕ
−
полярные координаты точки
(, )
x
y
:
cos ,
sin ,
xr
yr
ϕ
=
⎧
⎨
=
⎩
()
f
ϕ
−
заданная на отрезке
[0, 2 ]
π
непрерывная функция, удовлетворяющая
условию
(0) (2 )
f
f
π
=
.
В полярных координатах уравнение Лапласа (59) записывается в виде
2
2
1
0
uu
r
rrr
ϕ
∂∂ ∂
⎛⎞
+
=
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
∂
,
или
22
2
2
0
uuu
rr
r
r
ϕ
∂∂∂
2
+
+=
∂
∂∂
. (62)
Будем искать решение уравнения (62) в виде произведения
() ()ur
ϕ
=
ΦΨ
.
(63)
Подставим это выражение в указанное уравнение:
2
( ) ''( ) ( ) '( ) ''( ) ( ) 0,rrrr r
ϕϕϕ
ΦΨ +ΦΨ +Φ Ψ=
39

Страницы