Уравнения математической физики. Меньших О.Ф. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

5 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ, ТРЕБУЮЩИЕ ПРИМЕНЕНИЯ
СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
5.1 Решение уравнения Гельмгольца
Уравнением Гельмгольца называется соотношение
2
0uku
∆
+=
,
где
постоянная. К этому уравнению приводит, в частности, изучение ус-
тановившихся колебательных процессов.
k
−
Введем полярные координаты с помощью соотношений
cos ,
sin .
xr
yr
ϕ
ϕ
=
⎧
⎨
=
⎩
Если
22
22
x
y
∂
∂
∆= +
∂
∂
,
то задачу Дирихле для уравнения Гельмгольца
2
0uku
∆
+=
,
0 rR
≤
<
,
()
rR
uf
ϕ
=
можно записать в виде
2
2
11
0
rr r
uu uku
r
r
ϕϕ
+
++=
,
0 rR
≤
<
,
(
)
rR
uf
ϕ
=
=
.
Будем предполагать, что функция
()
f
x
непрерывна и имеет период
2
π
.
Применим метод Фурье. Подставим произведение
(, ) ( ) ()ur Rr
ϕ
ϕ
=
Φ
в уравнение Гельмгольца, записанное в полярных координатах:
22
'' ' '' 0rRrR RkrRΦ+Φ+Φ + Φ=
2
.
Отсюда
49

Страницы