Уравнения математической физики. Меньших О.Ф. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

222
2
'' ' ''rR rR krR
R
λ
++ Φ
=
−=
Φ
,
где
λ
постоянная.
−
Последнее равенство определяет собственные числа и собственные функ-
ции данной краевой задачи:
2
'' 0
λ
Φ+ Φ=
,
, 0, 1, 2, ...
nn
λ
==
() cos sin
nn n
A
nB n
ϕ
ϕϕ
Φ= +
.
Здесь
n
A
и постоянные.
n
B
−
Для функции
()
r
получается уравнение
2222
'' ' ( ) 0rR rR kr n R++ − =
.
Сделаем замену переменной
,
x
kr x r
k
=
=
,
'
dR dR dx dR
Rk
dr dx dr dx
== =
.
Аналогично
2
2
2
''
dR
Rk
dx
=
.
Следовательно, функция
R
удовлетворяет уравнению
22
22
22
()
xdRxdR
kkxn
kdx
kdx
++−
2
0R=
,
то есть
2
22
2
()
dR dR
xxxnR
dx
dx
++− =
2
0
, CC
.
Это уравнение Бесселя порядка
n
. Оно имеет общее решение
12
() ()
nn
RCJx CYx=+
.
Здесь
функция Бесселя первого рода, порядка ; функция
Бесселя второго рода, порядка
n
;
()
n
Jx
−
n
()
n
Yx
−
12
−
произвольные постоянные.
Таким образом,
12
() ( ) ( )
nn
Rr CJ kr CY kr=+
.
50

Страницы