Уравнения математической физики. Мицик М.Ф. - 15 стр.

                                        ∞
                   u (x; t ) = ∫ e −a λ t ( A(λ ) cos λx + B (λ ) sin λx )dλ
                                                    2 2

                                                                                                                     (48)
                                        0

      A(λ )             B(λ )                        ,                            ,                         t,
                           x
                        t x.
                           A(λ )                    B(λ )        ,            u (x; t )                               (44).
                                            ∞
       u ( x;0 ) = ϕ (x ) = ∫ ( A(λ ) cos λx + B(λ ) sin λx )dλ .                                                    (49)
                                            0

                    ϕ (x)
         1                                 ∞                            
           ∞      ∞
ϕ ( x ) = ∫  ∫ ϕ (ξ ) cos λξ dξ  cos λx +  ∫ ϕ (ξ ) sin λξ dξ  sin λx  dλ
                                                                                                                   (50)
         π 0  −∞                           −∞                          
                                                (49)        (50):
                             ∞                                                        ∞
       A(λ ) =               ∫ ϕ (ξ ) cos λξ dξ ,                     B(λ ) = ∫ ϕ (ξ ) sin λξ dξ .
               1                                                              1
               π             −∞
                                                                              π −∞
                                                                            A(λ ) B(λ ) (48),
                                        :
                                                ∞
                                                            ∞ −a 2λ2t                    
                   u (x; t ) =                          (  )                  (      )
                               1
                               π                ∫−∞   ∫0
                                                      ϕ  ξ    e        cos λ  ξ − x   d λ  dξ
                                                                                           
                                                                                           
                                                                                                                     (51)
                                                     
                         ,                          (51)                                          (43), (44).
                                                    (38)                                      .
                                                        :
                                                 ξ−x
                   aλ t = z ,                        =ς .                                                            (52)
                                                 a t
       ∞                                                              ∞
                        cos λ (ξ − x ) dλ =
                                                                 1
       ∫e                                                             ∫ e cos ς z dz .
            − a 2 λ2t                                                    −z
                                                                          2



       0                                                        a t   0
                                                     ∞
                                  K (ς ) = ∫ e − z cos ς z dz ,
                                                            2

                                                                                                                     (53)
                                                     0


                             ∞                                       ∞ ς                  ∞
       K ′(ς ) = − ∫ e
                                                      1 2
                                  −z2
                                        z sin ς z dz = e − z sin ς z | − ∫ e − z cos ς z dz
                                                                                2

                                                                                                                     (54)
                             0
                                                      2              0  20
                                 (53)           (54),                                                            :
                                                                          ς
                                                            K ′(ς ) = −     K (ς ) .                                 (55)
                                                                          2
                                                     (55):