Составители:
Рубрика:
36
можных решений, например, до компактного множества, в ре зультате
чего задача становится устойчивой к малым изменениям исходных дан-
ных; дополнительная информация о решении каче ственного характера;
ее использование позволяет создать алгоритмы для получения устой-
чивых решений.
В случае использования дополнительной информации, относящей-
ся, по нашему определению, к первой категории, используют следую-
щие методы решения: подбор; квазирешение; замена исходного урав-
нения близкими ему; квазиобращение. При этом предполагают, что
существует обратный оператор А
–1
, но он не являет ся, вообще говоря,
непрерывным.
Рассмотрим некоторые из перечисленных выше методов.
Метод подбора решений широко распро ст ранен в вычислитель-
ной технике. Он состоит в том, что для элементов z некоторого задан-
ного подкласса возможных решений
()
MM F⊂
вычисляют оператор
Az, т. е. решают прямую задач у. В каче стве приближенного решения
выбирают такой элемент z
0
из множества М, на котором невязка p
U
(Az,
u) достигает минимума. Обычно в качестве М берут множество эле-
ментов z, зависящих от конечного числа параметров, меняющихся в ог-
раниченных пределах так, чтобы М было замкнутым множеством ко-
нечномерного пространства. Если искомое точное решение z
т
принад-
лежит множеству М, то
()
inf
,0
U
z
zM
pAu
∈
=
и достигает ся эта точная ниж-
няя граница при точном решении z
т
. Если решаемое уравнение имеет
единственное решение, то найденное решение определено однозначно.
В этом случае задачу принято называть корректной по Тихонову, так
как оператор А
–1
оказывается непрерывным на множестве Р = АМ, а
это означает, что малым изменениям u будут соответствовать малые
изменения z. Множество М, на котором задача оказывается корректно
поставленной, называется классом корректности.
В силу погрешности исходных данных элемент u может не принад-
лежать множеству М. В этих условиях уравнение не имеет решения
(классического) и возникает вопрос, что надо понимать под приближен-
ным решением уравнения. В этом случае вводят понятие квазиреше-
ния. Метод подбора при условии компактности множества М позволяет
найти приближение к квазирешению.
Квазирешением на множестве М называют такой элемент z этого
множества, который при данном u минимизирует функционал
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- …
- следующая ›
- последняя »
