Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

100
äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì, ò. å. ïðîâåðèòü âûïîë-
íåíèå êàêîãî-ëèáî êðèòåðèÿ ïîòåíöèàëüíîñòè (ðàçä.3.1).  ÷àñò-
íîñòè, åñëè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ïîëÿ
ρ
a
îäíîñâÿçíà, òî äëÿ åãî
ïîòåíöèàëüíîñòè äîñòàòî÷íî, ÷òîáû
rot
ρ
a = 0
â ëþáîé òî÷êå åãî
îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ.
Ïóñòü óñòàíîâëåíî, ÷òî çàäàííîå âåêòîðíîå ïîëå
ρ
aq q q(,,)
123
ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì. Òîãäà åãî ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë
u (q
1
, q
2
, q
3
) ìîæíî íàéòè ñëåäóþùèìè ñïîñîáàìè.
Ñïîñîá 1. Ñîñòàâëåíèå ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà.
Òàê êàê ïîëíûé äèôôåðåíöèàë ñêàëÿðíîé ôóíêöèè
u (q
1
, q
2
, q
3
) â êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ
du
u
q
dq
u
q
dq
u
q
dq=+ +
∂
∂
∂
∂
∂
∂
1
1
2
2
3
3
,
à â ñèëó ïîòåíöèàëüíîñòè ïîëÿ
ρ
a
îíî ïðåäñòàâèìî â âèäå (4.6)
ρ
aaaa u
H
u
qH
u
qH
u
q
==−∇=−
{, , } , ,
123
11 2 2 33
11 1
∂
∂
∂
∂
∂
∂
,
òî
a
H
u
q
i
ii
=−
1
∂
∂
(i =1,2,3). (4.8)
È òîãäà
()
du a H dq a H dq a H dq
=− + +
11 1 2 2 2 33 3
. (4.9)
Åñëè èç êîìïîíåíò ïîëÿ
ρ
a
â ïðàâîé ÷àñòè (4.9) óäàñòñÿ
ñîñòàâèòü ïîëíûé äèôôåðåíöèàë, òî îí è áóäåò ÿâëÿòüñÿ èñêî-
ìûì ïîòåíöèàëîì u (q
1
, q
2
, q
3
) âåêòîðíîãî ïîëÿ
ρ
a
.
ßñíî, ÷òî ýòîò ñïîñîá õîðîø òîëüêî äëÿ ñðàâíèòåëüíî ïðî-
ñòûõ âåêòîðíûõ ïîëåé, äëÿ êîòîðûõ ñòðóêòóðà ïîëíîãî äèôôå-
ðåíöèàëà du(q
1
, q
2
, q
3
) ëåãêî óãàäûâàåòñÿ.
Âûðàæåíèå (4.9) â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ ïðèíèìàåò
âèä:
()
du z a d a d a dz
z
(,,)
ρϕ ρ ρ ϕ
ρϕ
=− + +
; (4.10)
äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì, ò. å. ïðîâåðèòü âûïîë-
íåíèå êàêîãî-ëèáî êðèòåðèÿ ïîòåíöèàëüíîñòè (ðàçä.3.1).  ÷àñò-
                                       ρ
íîñòè, åñëè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ïîëÿ a îäíîñâÿçíà, òî äëÿ åãî
                                        ρ
ïîòåíöèàëüíîñòè äîñòàòî÷íî, ÷òîáû rot a = 0 â ëþáîé òî÷êå åãî
îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ.
                                                     ρ
      Ïóñòü óñòàíîâëåíî, ÷òî çàäàííîå âåêòîðíîå ïîëå a(q1, q2 , q3 )
ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì. Òîãäà åãî ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë
u (q1, q2, q3) ìîæíî íàéòè ñëåäóþùèìè ñïîñîáàìè.
Ñïîñîá 1. Ñîñòàâëåíèå ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà.
        Òàê êàê ïîëíûé äèôôåðåíöèàë ñêàëÿðíîé ôóíêöèè
u (q1, q2, q3) â êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ
                     ∂u dq + ∂u dq + ∂u dq
                   du =
                     ∂q1 1 ∂q2 2 ∂q3 3 ,
                               ρ
à â ñèëó ïîòåíöèàëüíîñòè ïîëÿ a îíî ïðåäñòàâèìî â âèäå (4.6)

          ρ                           1 ∂u 1 ∂u 1 ∂u 
          a = {a1, a2 , a3} = −∇u = −       ,      ,       ,
                                      H1 ∂q1 H2 ∂q2 H3 ∂q3 
òî
                               1 ∂u
                       ai= −
                               Hi ∂qi (i = 1, 2, 3).              (4.8)

È òîãäà
                du = −(a1 H1dq1 + a2 H2dq2 + a3 H3dq3) .   (4.9)
                                     ρ
     Åñëè èç êîìïîíåíò ïîëÿ a â ïðàâîé ÷àñòè (4.9) óäàñòñÿ
ñîñòàâèòü ïîëíûé äèôôåðåíöèàë, òî îí è áóäåò ÿâëÿòüñÿ èñêî-
                                                         ρ
ìûì ïîòåíöèàëîì u (q1, q2, q3) âåêòîðíîãî ïîëÿ a .
     ßñíî, ÷òî ýòîò ñïîñîá õîðîø òîëüêî äëÿ ñðàâíèòåëüíî ïðî-
ñòûõ âåêòîðíûõ ïîëåé, äëÿ êîòîðûõ ñòðóêòóðà ïîëíîãî äèôôå-
ðåíöèàëà du(q1, q2, q3) ëåãêî óãàäûâàåòñÿ.
     Âûðàæåíèå (4.9) â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ ïðèíèìàåò
âèä:

                                 (                       )
                 du( ρ, ϕ , z ) = − aρ dρ + aϕ ρdϕ + az dz ;     (4.10)



                                     100

Страницы