Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 101 стр.

à â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ îíî èìååò âèä:

                                (
               du(r, θ , ϕ ) = − ar dr + aθ rdθ + aϕ r sin θ dϕ .  )     (4.11)
                                       ρ            ρ          ρ
     Ïðèìåð 1. Íàéòè ïîòåíöèàë ïîëÿ a = −2r cos θ er + r sin θ eθ .
     Ðåøåíèå. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ýòî ïîëå ïîòåíöèàëüíî,
                                                 ρ
òàê êàê îáëàñòü åãî îïðåäåëåíèÿ îäíîñâÿçíà è rot a = 0 . Ïîäñòàâ-
                              ρ
ëÿÿ òåïåðü êîìïîíåíòû ïîëÿ a â âûðàæåíèå (4.11), ïîëó÷àåì:
                       du = 2r cos θ dr − r 2 sin θ dθ .
Çäåñü ïîä åäèíûé äèôôåðåíöèàë ëåãêî «çàãîíÿþòñÿ» âñå ïåðå-
ìåííûå:
               du = cos θ d (r 2 ) + r 2 d (cos θ ) = d (r 2 cos θ ) .
Òàêèì îáðàçîì, èñêîìûé ïîòåíöèàë u(r, θ , ϕ ) = r 2 cos θ + C .
                                    ρ ρ ρ                 ρ
    Ïðèìåð 2. Íàéòè ïîòåíöèàë ïîëÿ a = eρ + eϕ / ρ + ez .
    Ðåøåíèå. Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ðîòîð ýòîãî ïîëÿ ðàâåí íóëþ.
Ëåãêî çäåñü ñòðîèòñÿ è ïîëíûé äèôôåðåíöèàë:
                du = −( dρ + dϕ + dz ) = − d ( ρ + ϕ + z ) .
                                        ρ
Îäíàêî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ïîëÿ a íåîäíîñâÿçíà: ïðè ρ = 0 (ò. å.
íà îñè z) îíî íå ñóùåñòâóåò. Âû÷èñëèâ æå öèðêóëÿöèþ ýòîãî
ïîëÿ ïî êàêîìó-ëèáî êîíòóðó, îõâàòûâàþùåìó îñü z, íàïðèìåð
ïî îêðóæíîñòè ρ = R, z = 0, ïîëó÷àåì:
               ρ ρ
             ∫ a ⋅ dl = ∫ (aρ dρ + ρaϕ dϕ )ρ = R = ∫ dϕ = 2π .
À ðàç ðàáîòà ïî êîíòóðó íå ðàâíà íóëþ, òî ïîëå íå ïîòåíöèàëüíî.
Ôîðìàëüíî æå âû÷èñëåííàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ u = -(ρ + ϕ + z)
ïîòåíöèàëîì íå ÿâëÿåòñÿ, ïîñêîëüêó ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ïîëó-
ïëîñêîñòü ϕ = 0 îíà èñïûòûâàåò ñêà÷îê 2π.
Ñïîñîá 2. Ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé.
                            ρ
     Åñëè ñòðóêòóðà ïîëÿ a äîñòàòî÷íî ñëîæíà è óãàäàòü âèä
ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà ïðàâîé ÷àñòè (4.9) íå óäàåòñÿ, òî äëÿ
íàõîæäåíèÿ ïîòåíöèàëà u(q1,q2,q3) ïðèõîäèòñÿ ðåøàòü ñèñòåìó
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (4.8), êîòîðàÿ â öèëèíäðè÷åñêèõ
êîîðäèíàòàõ ïðèíèìàåò âèä:



                                       101