Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

105
4.3.8. Ïîñòðîåíèå âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà
Ïðåæäå ÷åì âû÷èñëÿòü âåêòîðíûé ïîòåíöèàë
ρ
A
ïîëÿ
ρ
a
,
çàäàííîãî â êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ, íåîáõîäèìî óáåäèòü-
ñÿ, ÷òî ýòî ïîëå ñîëåíîèäàëüíî, ò. å. ÷òî
div
ρ
a = 0
.
Åñëè ñîëåíîèäàëüíîñòü çàäàííîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ â îáëàñ-
òè V óñòàíîâëåíà, òî ïîñòðîåíèå åãî âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà
ρ
A
ñîñòîèò â îòûñêàíèè êàêîãî-ëèáî ðåøåíèÿ âåêòîðíîãî äèôôå-
ðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (3.5), çàïèñàííîãî â ñîîòâåòñòâóþùèõ
êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ (ñì. ðàçä. 4.3.4).  öèëèíäðè÷åñêèõ êî-
îðäèíàòàõ óðàâíåíèå (3.5) ýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùèì òðåì ñêà-
ëÿðíûì:
∂
∂ϕ
∂
∂
ρρ
∂
∂
∂
∂ρ
∂
∂ρ
ρ
∂
∂ϕ
ρ
ϕρ
ρ
ϕ
ϕ
ρ
A
z
Aa
A
z
A
a
A
A
A
z
z
z
−=
−=
−=
() ,
,
() .
(4.15)
 ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ ýòè óðàâíåíèÿ èìåþò âèä:
∂
∂θ
θ
∂
∂ϕ
θ
∂
∂ϕ
∂
∂
θθ
∂
∂
∂
∂θ
ϕθ
ϕθ
θϕ
( sin ) ( ) sin ,
( sin ) sin ,
() .
Ar rA ar
A
r
rAar
r
rA
A
ra
r
r
r
−=
−=
−=
2
(4.16)
Íåèçâåñòíûå êîìïîíåíòû âåêòîðíîãî ïîëÿ
ρ
A
ñòðîÿòñÿ ñ ïî-
ìîùüþ ïðîöåäóðû, àíàëîãè÷íîé (3.7)—(3.11) ðàçäåëà 3.2, íî ïðî-
äåëàííîé â ñîîòâåòñòâóþùèõ êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ. Â çàâè-
ñèìîñòè îò òîãî, êàêàÿ èç êîìïîíåíò âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà
ρ
A
è
êàêàÿ èç êîíñòàíò èíòåãðèðîâàíèÿ áóäóò ïîëîæåíû ðàâíûìè íóëþ,
ñòðóêòóðû ïîëó÷åííûõ âåêòîðíûõ ïîòåíöèàëîâ áóäóò ñîâåðøåííî
ðàçëè÷íûìè. Íî âî âñåõ ñëó÷àÿõ êðèòåðèåì ïðàâèëüíîñòè ïîñòðîå-
íèÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà
ρ
A
äîëæíî áûòü ðàâåíñòâî
rot
ρ
ρ
Aa
=
.
           4.3.8. Ïîñòðîåíèå âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà
                                                      ρ        ρ
     Ïðåæäå ÷åì âû÷èñëÿòü âåêòîðíûé ïîòåíöèàë A ïîëÿ a ,
çàäàííîãî â êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ, íåîáõîäèìî óáåäèòü-
                                              ρ
ñÿ, ÷òî ýòî ïîëå ñîëåíîèäàëüíî, ò. å. ÷òî div a = 0 .
     Åñëè ñîëåíîèäàëüíîñòü çàäàííîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ â îáëàñ-
                                                               ρ
òè V óñòàíîâëåíà, òî ïîñòðîåíèå åãî âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà A
ñîñòîèò â îòûñêàíèè êàêîãî-ëèáî ðåøåíèÿ âåêòîðíîãî äèôôå-
ðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (3.5), çàïèñàííîãî â ñîîòâåòñòâóþùèõ
êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ (ñì. ðàçä. 4.3.4).  öèëèíäðè÷åñêèõ êî-
îðäèíàòàõ óðàâíåíèå (3.5) ýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùèì òðåì ñêà-
ëÿðíûì:

                         ∂Az ∂
                         ∂ϕ − ∂z ( ρAϕ ) = ρaρ ,
                         ∂A ∂A
                              ρ
                          ∂z − ∂ρ = aϕ ,
                                   z

                                                             (4.15)
                          ∂ ( ρA ) − ∂Aρ = ρA .
                          ∂ρ   ϕ
                                      ∂ϕ       z



 ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ ýòè óðàâíåíèÿ èìåþò âèä:

                 ∂ ( A r sin θ ) − ∂ (rA ) = a r 2 sin θ ,
                 ∂θ ϕ             ∂ϕ θ          r

                 ∂Ar ∂
                 ∂ϕ − ∂r (r sin θ Aϕ ) = aθ r sin θ ,
                                                             (4.16)
                 ∂ (rAθ ) − ∂Ar = raϕ .
                 ∂r         ∂θ
                                               ρ
     Íåèçâåñòíûå êîìïîíåíòû âåêòîðíîãî ïîëÿ A ñòðîÿòñÿ ñ ïî-
ìîùüþ ïðîöåäóðû, àíàëîãè÷íîé (3.7)—(3.11) ðàçäåëà 3.2, íî ïðî-
äåëàííîé â ñîîòâåòñòâóþùèõ êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ. Â çàâè-
                                                           ρ
ñèìîñòè îò òîãî, êàêàÿ èç êîìïîíåíò âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà A è
êàêàÿ èç êîíñòàíò èíòåãðèðîâàíèÿ áóäóò ïîëîæåíû ðàâíûìè íóëþ,
ñòðóêòóðû ïîëó÷åííûõ âåêòîðíûõ ïîòåíöèàëîâ áóäóò ñîâåðøåííî
ðàçëè÷íûìè. Íî âî âñåõ ñëó÷àÿõ êðèòåðèåì ïðàâèëüíîñòè ïîñòðîå-
                             ρ                          ρ ρ
íèÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà A äîëæíî áûòü ðàâåíñòâî rot A = a .



                                   105

Страницы