Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

106
Ïðèìåð. Ïîñòðîèòü âåêòîðíûé ïîòåíöèàë
ρ
A
ïîëÿ
ρρ
aer
r
= /
2
.
Ðåøåíèå. Ýòî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå òî÷å÷íîãî çàðÿäà. Ëåãêî
óáåäèòüñÿ, ÷òî âî âñåé îáëàñòè åãî îïðåäåëåíèÿ
div
ρ
a = 0
, ñëåäî-
âàòåëüíî, ýòî ïîëå ÿâëÿåòñÿ ñîëåíîèäàëüíûì. Óðàâíåíèÿ (4.16)
äëÿ îòûñêàíèÿ íåèçâåñòíûõ êîìïîíåíò âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà
ρ
A
ýòîãî ïîëÿ â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ ïðèíèìàþò âèä:
∂θ
∂θ
∂
∂ϕ
θ
∂
∂ϕ
θ
∂
∂
∂
∂
∂
∂θ
ϕ
θ
ϕ
θ
(sin)
sin
,
sin
()
,
()
A
A
r
A
rA
r
rA
r
A
r
r
−=
=
=
(çäåñü ïðè äèôôåðåíöèðîâàíèè ó÷òåíà íåçàâèñèìîñòü ïåðåìåí-
íûõ r,
θ
,
ϕ
).
Ïîëüçóÿñü îòíîñèòåëüíûì ïðîèçâîëîì âûáîðà âåêòîðà
ρ
A
,
ïîëîæèì äëÿ ïðîñòîòû A
r
= 0. Òîãäà äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîìïîíåíò
A
θ
è A
ϕ
ïîëó÷àåì ñèñòåìó:
∂θ
∂θ
∂
∂ϕ
θ
∂
∂
∂
∂
ϕ
θ
ϕ
θ
(sin)
sin
,
()
,
()
.
A
A
r
rA
r
rA
r
−=
=
=
0
0
(4.17)
Äâà ïîñëåäíèõ óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (4.17) äàþò âûðàæåíèå:
A
C
r
ϕ
θϕ
=
1
(, )
,
A
C
r
θ
θϕ
=
2
(, )
,
ãäå Ñ
1
è Ñ
2
— ïðîèçâîëüíûå äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè, íî
òàêèå, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (4.17). Ïî-
ýòîìó îäíó èç íèõ ìîæíî ïîëîæèòü ðàâíîé íóëþ, íàïðèìåð Ñ
2
.
Òîãäà è êîìïîíåíòà À
θ
= 0; à ïîäñòàíîâêà À
ϕ
â ïåðâîå óðàâíåíèå
(4.17) äàåò âûðàæåíèå:
∂θϕ θ
∂θ
θ
((,)sin)
sin
C
1
=
,
                                              ρ        ρ ρ
     Ïðèìåð. Ïîñòðîèòü âåêòîðíûé ïîòåíöèàë A ïîëÿ a = er / r 2 .
     Ðåøåíèå. Ýòî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå òî÷å÷íîãî çàðÿäà. Ëåãêî
                                                   ρ
óáåäèòüñÿ, ÷òî âî âñåé îáëàñòè åãî îïðåäåëåíèÿ div a = 0 , ñëåäî-
âàòåëüíî, ýòî ïîëå ÿâëÿåòñÿ ñîëåíîèäàëüíûì. Óðàâíåíèÿ (4.16)
äëÿ îòûñêàíèÿ íåèçâåñòíûõ êîìïîíåíò âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà
 ρ
 A ýòîãî ïîëÿ â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ ïðèíèìàþò âèä:

                     ∂ ( Aϕ sin θ ) ∂Aθ sin θ
                                   −       =   ,
                           ∂θ          ∂ϕ     r
                                   ∂ (rAϕ )
                     ∂Ar
                     ∂ϕ = sin θ ∂r ,
                    
                     ∂ (rAθ ) = ∂Ar
                     ∂r          ∂θ

(çäåñü ïðè äèôôåðåíöèðîâàíèè ó÷òåíà íåçàâèñèìîñòü ïåðåìåí-
íûõ r, θ, ϕ).
                                                          ρ
     Ïîëüçóÿñü îòíîñèòåëüíûì ïðîèçâîëîì âûáîðà âåêòîðà A ,
ïîëîæèì äëÿ ïðîñòîòû Ar = 0. Òîãäà äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîìïîíåíò
Aθ è Aϕ ïîëó÷àåì ñèñòåìó:

                     ∂ ( Aϕ sin θ ) ∂Aθ sin θ
                                   −    =     ,
                           ∂θ         ∂ϕ   r
                     ∂ (rA )
                           ϕ
                     ∂r = 0,
                     ∂ (rA )                             (4.17)
                           θ
                               = 0.
                     ∂r

Äâà ïîñëåäíèõ óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (4.17) äàþò âûðàæåíèå:
                          C1(θ , ϕ )       C (θ , ϕ )
                   Aϕ =              , Aθ = 2         ,
                             r                r
ãäå Ñ1 è Ñ2 — ïðîèçâîëüíûå äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè, íî
òàêèå, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (4.17). Ïî-
ýòîìó îäíó èç íèõ ìîæíî ïîëîæèòü ðàâíîé íóëþ, íàïðèìåð Ñ2.
Òîãäà è êîìïîíåíòà Àθ = 0; à ïîäñòàíîâêà Àϕ â ïåðâîå óðàâíåíèå
(4.17) äàåò âûðàæåíèå:
                      ∂ (C1(θ , ϕ )sin θ )
                                           = sin θ ,
                             ∂θ

                                   106

Страницы