Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

108
4.67. Íàéòè âåêòîðíûé ïîòåíöèàë ïîëÿ
ρρ
are
r
=
.
4.3.9. Îïåðàòîð Ëàïëàñà
Îïåðàòîð Ëàïëàñà (ëàïëàñèàí) ñêàëÿðíîé ôóíêöèè
u (q
1
, q
2
, q
3
) â êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ îïðåäåëÿåòñÿ êàê äè-
âåðãåíöèÿ îò åå ãðàäèåíòà:
∆uuu==∇⋅∇div(grad )
.
Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëû (4.6) è (4.7), ïîëó÷àåì:
∆uq q q
HHH q
HH
H
u
qq
HH
H
u
qq
HH
H
u
q
(,,)
123
123 1
23
11 2
13
22 3
12
33
1
=
+
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
.
 öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ (
ρ
,
ϕ
, z) ëàïëàñèàí ïðèîáðåòà-
åò âèä:
∆u
uuu
z
=
++
11
2
2
2
2
2
ρ
∂
∂ρ
ρ
∂
∂ρ ρ
∂
∂ϕ
∂
∂
. (4.18)
 ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ (r,
θ
,
ϕ
)
∆u
rr
r
u
rr
u
r
u
=
+
+
11 1
2
2
222
2
2
∂
∂
∂
∂θ
∂
∂θ
θ
∂
∂θ θ
∂
∂ϕ
sin
sin
sin
. (4.19)
Åñëè ñêàëÿðíîå ïîëå u(q
1
,q
2
,q
3
) çàâèñèò òîëüêî îò ðàññòîÿ-
íèÿ
ρ
äî íåêîòîðîé îñè, ò. å. u=u(
ρ
), òî îíî íàçûâàåòñÿ îñåâûì,
èëè öèëèíäðè÷åñêèì. Äëÿ òàêîãî ïîëÿ îò ëàïëàñèàíà (4.18) îñòà-
åòñÿ òîëüêî åãî ðàäèàëüíàÿ ÷àñòü:
∆∆uu
u
==
ρ
ρ
∂
∂ρ
ρ
∂
∂ρ
1
. (4.20)
Åñëè ñêàëÿðíîå ïîëå u (q
1
, q
2
, q
3
) çàâèñèò òîëüêî îò ðàññòîÿ-
íèÿ r äî íåêîòîðîãî öåíòðà Î, ò. å. u=u(r), òî îíî íàçûâàåòñÿ
öåíòðàëüíûì, èëè ñôåðè÷åñêèì. Äëÿ òàêîãî ïîëÿ îò ëàïëàñèàíà
(4.19) îñòàåòñÿ òîëüêî åãî ðàäèàëüíàÿ ÷àñòü:
∆∆uu
rr
r
u
rrr
ur
r
==
=
11
2
2
2
2
∂
∂
∂
∂
∂
∂
()
(4.21)
Ïðèìåð. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà ∆u =0,
çàâèñÿùåå òîëüêî îò ðàññòîÿíèÿ
ρ
äî íåêîòîðîé îñè.
                                              ρ ρ
         4.67. Íàéòè âåêòîðíûé ïîòåíöèàë ïîëÿ a = rer .

                               4.3.9. Îïåðàòîð Ëàïëàñà
      Îïåðàòîð Ëàïëàñà (ëàïëàñèàí) ñêàëÿðíîé ôóíêöèè
u (q1, q2, q3) â êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ îïðåäåëÿåòñÿ êàê äè-
âåðãåíöèÿ îò åå ãðàäèåíòà:
                                  ∆u = div(grad u) = ∇ ⋅ ∇u .
Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëû (4.6) è (4.7), ïîëó÷àåì:

                        1       ∂  H2 H3 ∂u   ∂  H1 H3 ∂u  ∂  H1 H2 ∂u  
∆u(q1, q2 , q3 ) =                           +             +            
                     H1 H2 H3  ∂q1  H1 ∂q1  ∂q2  H2 ∂q2  ∂q3  H3 ∂q3  .

      öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ (ρ, ϕ, z) ëàïëàñèàí ïðèîáðåòà-
åò âèä:

                                  1 ∂  ∂u  + 1 ∂ 2u + ∂ 2u
                           ∆u =        ρ 
                                  ρ ∂ρ  ∂ρ  ρ 2 ∂ϕ 2 ∂z 2 .                  (4.18)

        ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ (r, θ, ϕ)

                     1 ∂  2 ∂u      1     ∂  sin θ ∂u  +   1      ∂ 2u
          ∆u =               r      +
                     r 2 ∂r  ∂r  r 2 sin θ ∂θ         ∂θ  r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2 . (4.19)
     Åñëè ñêàëÿðíîå ïîëå u(q1,q2,q3) çàâèñèò òîëüêî îò ðàññòîÿ-
íèÿ ρ äî íåêîòîðîé îñè, ò. å. u = u(ρ), òî îíî íàçûâàåòñÿ îñåâûì,
èëè öèëèíäðè÷åñêèì. Äëÿ òàêîãî ïîëÿ îò ëàïëàñèàíà (4.18) îñòà-
åòñÿ òîëüêî åãî ðàäèàëüíàÿ ÷àñòü:

                                  ∆u = ∆ ρu = 1 ∂  ρ ∂u  .
                                                        
                                              ρ ∂ρ  ∂ρ                       (4.20)

     Åñëè ñêàëÿðíîå ïîëå u (q1, q2, q3) çàâèñèò òîëüêî îò ðàññòîÿ-
íèÿ r äî íåêîòîðîãî öåíòðà Î, ò. å. u = u(r), òî îíî íàçûâàåòñÿ
öåíòðàëüíûì, èëè ñôåðè÷åñêèì. Äëÿ òàêîãî ïîëÿ îò ëàïëàñèàíà
(4.19) îñòàåòñÿ òîëüêî åãî ðàäèàëüíàÿ ÷àñòü:

                                         1 ∂  2 ∂u  1 ∂ 2
                          ∆u = ∆ r u =           r     =      (ur )            (4.21)
                                         r 2 ∂r  ∂r  r ∂r 2
     Ïðèìåð. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà ∆u = 0,
çàâèñÿùåå òîëüêî îò ðàññòîÿíèÿ ρ äî íåêîòîðîé îñè.

                                              108

Страницы