Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

109
Ðåøåíèå. Òàê êàê u=u(
ρ
), òî, ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó (4.20),
ïîëó÷àåì:
1
0
ρ
∂
∂ρ
ρ
∂
∂ρ
u
=
.
Îòñþäà
ρ
∂
∂ρ
u
C==const
1
.
Ñëåäîâàòåëüíî,
uC C=+
12
ln
ρ
.
Çàäà÷è
• Óñòàíîâèòü, ÿâëÿþòñÿ ëè ãàðìîíè÷åñêèìè ñëåäóþùèå ñêà-
ëÿðíûå ïîëÿ:
4.68. u =1/
ρ
; 4.72. u =1/r;
4.69. u =ln
ρ
; 4.73. u =lnr;
4.70. u
=ρ
2
cos2
ϕ
; 4.74. u=r
2
sin
θ
;
4.71. u
=ρ
+ Ccos
ϕ
; 4.75. u=rcos2
θ
.
4.76. Âû÷èñëèòü ∆(r
n
), ãäå n — äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî.
4.77. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà ∆u = 0, çà-
âèñÿùåå òîëüêî îò:
à) ðàññòîÿíèÿ r äî íåêîòîðîãî öåíòðà;
á) ïîëÿðíîãî óãëà
θ
;
â) àçèìóòàëüíîãî óãëà
ϕ
.
4.78. Ïóñòü u=u(r). Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ïó-
àññîíà ∆u=Ñ, ãäå Ñ — ïîñòîÿííàÿ.
4.79. Ïóñòü u=u(r). Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ïó-
àññîíà ∆u=r
n
, ãäå n — äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî.
4.80. Ïóñòü u=u(z). Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ïó-
àññîíà ∆u=z
n
, ãäå n — äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî.
4.81. Ïðè êàêîé ôóíêöèè u (
ρ
) âåêòîðíîå ïîëå
ρρ
aue= ()
ρ
ρ
áóäåò ëàïëàñîâûì?
4.82. Ïðè êàêîé ôóíêöèè u (r) âåêòîðíîå ïîëå
ρρ
aure
r
= ()
áóäåò ëàïëàñîâûì?
    Ðåøåíèå. Òàê êàê u = u(ρ), òî, ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó (4.20),
ïîëó÷àåì:

                       1 ∂  ρ ∂u  =
                                  0.
                       ρ ∂ρ  ∂ρ 
Îòñþäà

                      ρ ∂u = const = C1 .
                        ∂ρ
Ñëåäîâàòåëüíî,
                       u = C1 ln ρ + C2 .


                          Çàäà÷è
    • Óñòàíîâèòü, ÿâëÿþòñÿ ëè ãàðìîíè÷åñêèìè ñëåäóþùèå ñêà-
ëÿðíûå ïîëÿ:
     4.68. u = 1/ρ;                     4.72. u = 1/r;
     4.69. u = lnρ;                     4.73. u = lnr;
     4.70. u = ρ2 cos2ϕ;                4.74. u = r2 sinθ;
     4.71. u = ρ + Ccosϕ;               4.75. u = r cos2θ.
     4.76. Âû÷èñëèòü ∆(rn), ãäå n — äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî.

     4.77. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà ∆u = 0, çà-
           âèñÿùåå òîëüêî îò:
           à) ðàññòîÿíèÿ r äî íåêîòîðîãî öåíòðà;
           á) ïîëÿðíîãî óãëà θ ;
           â) àçèìóòàëüíîãî óãëà ϕ .
     4.78. Ïóñòü u = u (r). Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ïó-
           àññîíà ∆u = Ñ, ãäå Ñ — ïîñòîÿííàÿ.
     4.79. Ïóñòü u = u(r). Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ïó-
           àññîíà ∆u = r n, ãäå n — äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî.
     4.80. Ïóñòü u = u (z). Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ïó-
           àññîíà ∆u = z n, ãäå n — äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî.
                                                      ρ     ρ
     4.81. Ïðè êàêîé ôóíêöèè u (ρ) âåêòîðíîå ïîëå a = u( ρ )eρ
           áóäåò ëàïëàñîâûì?
                                                  ρ        ρ
     4.82. Ïðè êàêîé ôóíêöèè u (r) âåêòîðíîå ïîëå a = u(r )er
           áóäåò ëàïëàñîâûì?

                             109

Страницы