Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 111 стр.

                                  5. ÒÅÍÇÎÐÛ

                   5.1. Ïðåîáðàçîâàíèÿ áàçèñà.
              Îïðåäåëåíèå òåíçîðà. Ñèììåòðèÿ òåíçîðà
                                                                     ρ ρ ρ
     Ïåðåõîä îò ñòàðîãî îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà ( е1 , e2 , e3 )
              ρ′ ρ ′ ρ ′
ê íîâîìó ( е1 , e2 , e3 ) çàäàåòñÿ ìàòðèöåé ïåðåõîäà Ã = [γij]
(i, j = 1, 2, 3):
                            ρ             ρ
                            ei ′ = ∑ γ ij e j     (i = 1,2 ,3).        (5.1)
                                        j

Ìàòðèöà Ã îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
       1. Ìàòðèöà ô îáðàòíîãî ïåðåõîäà îò íîâîãî áàçèñà ê
           ñòàðîìó
                                     ρ            ρ
                                     ei = ∑ γ ij′ e j ′
                                            j

              ÿâëÿåòñÿ òðàíñïîíèðîâàííîé ìàòðèöåé Ã, ò. å. γ´ij = γji .
         2. Ìàòðèöà Ã ´ ÿâëÿåòñÿ îáðàòíîé ìàòðèöåé Ã, ò. å.
            Ã ´ = Ã Ò = Ã -1.
                                                   1 при i = j ,
         3.   ∑γ        γ kj = ∑ γ ikγ jk = δ ij = 
                                                    0 при i ≠ j .
                   ki



           Ìàòðèöû, îáëàäàþùèå òàêèì ñâîéñòâîì, íàçûâàþò-
           ñÿ îðòîãîíàëüíûìè.
        4. det à = det à ´ = ±1.
Îïðåäåëåíèå. Òðîéêà çàíóìåðîâàííûõ ÷èñåë (x1, x2, x3), çàâèñÿùèõ
           îò âûáîðà áàçèñà è èçìåíÿþùèõñÿ ïðè ïåðåõîäå îò
           îäíîãî áàçèñà ê äðóãîìó ïî çàêîíó

                             xi′ = ∑ γ ij x j     (i = 1,2 ,3),
                                    j

              íàçûâàåòñÿ òåíçîðîì 1-ãî ðàíãà. Ñàìè ÷èñëà x1, x2, x3
              íàçûâàþòñÿ êîìïîíåíòàìè ýòîãî òåíçîðà â äàííîì
              áàçèñå.



                                            111