Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

113
Îïðåäåëåíèå. Åñëè ó òåíçîðà 2-ãî ðàíãà Ò êîìïîíåíòû îáëàäàþò
ñâîéñòâîì à
ij
=a
ji
, òî òåíçîð Ò íàçûâàåòñÿ ñèììåò-
ðè÷íûì.
Ó ñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà 2-ãî ðàíãà óæå íå 9, à òîëüêî 6
íåçàâèñèìûõ êîìïîíåíò.
Îïðåäåëåíèå. Åñëè ó òåíçîðà 2-ãî ðàíãà Ò êîìïîíåíòû îáëàäàþò
ñâîéñòâîì à
ij
=-a
ji
, òî òåíçîð Ò íàçûâàåòñÿ àíòè-
ñèììåòðè÷íûì.
Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ó àíòèñèììåòðè÷íîãî
òåíçîðà äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû à
ii
= 0, è, ñëåäîâàòåëüíî, îí
èìååò âñåãî 3 íåçàâèñèìûõ êîìïîíåíòû:
T
aa
aa
aa
AS
=−
−−
0
0
0
12 13
12 23
13 23
.
Ñâîéñòâà ñèììåòðèè èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçî-
âàíèé áàçèñà.
Ëþáîé òåíçîð Ò ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ñóììû ñèì-
ìåòðè÷íîãî è àíòèñèììåòðè÷íîãî òåíçîðîâ: Ò=Ò
S
+T
AS
.
Çàäà÷è
5.1. Íàéòè ìàòðèöû ïðÿìîãî Ã è îáðàòíîãî Ã
-1
ïðåîáðà-
çîâàíèé îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà
(, )
ρρ
ee
12
ïðè åãî
ïîâîðîòå íà óãîë α ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè.
5.2. Äîêàçàòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå äâóõ îðòîãîíàëüíûõ ìàò-
ðèö ÿâëÿåòñÿ òàêæå îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöåé.
5.3. Äîêàçàòü, ÷òî det à = ±1, ãäå à — ìàòðèöà ïðåîáðà-
çîâàíèÿ îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà.
5.4. Äîêàçàòü, ÷òî êîýôôèöèåíòû (à
1
, à
2
, à
3
), çàäàþùèå
ïëîñêîñòü a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ a
3
x
3
= 1, îáðàçóþò òåíçîð 1-ãî
ðàíãà.
5.5. Äîêàçàòü, ÷òî òàáëèöà äåâÿòè êîýôôèöèåíòîâ [a
ij
]
(i, j = 1, 2, 3), çàäàþùèõ öåíòðàëüíóþ ïîâåðõíîñòü 2-ãî
ïîðÿäêà
axx
ij i j
ji
∑∑
=
1,
îáðàçóåò òåíçîð 2-ãî ðàíãà.
Îïðåäåëåíèå. Åñëè ó òåíçîðà 2-ãî ðàíãà Ò êîìïîíåíòû îáëàäàþò
            ñâîéñòâîì àij = aji , òî òåíçîð Ò íàçûâàåòñÿ ñèììåò-
            ðè÷íûì.
     Ó ñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà 2-ãî ðàíãà óæå íå 9, à òîëüêî 6
íåçàâèñèìûõ êîìïîíåíò.
Îïðåäåëåíèå. Åñëè ó òåíçîðà 2-ãî ðàíãà Ò êîìïîíåíòû îáëàäàþò
            ñâîéñòâîì àij = -aji , òî òåíçîð Ò íàçûâàåòñÿ àíòè-
            ñèììåòðè÷íûì.
     Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ó àíòèñèììåòðè÷íîãî
òåíçîðà äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ài i = 0, è, ñëåäîâàòåëüíî, îí
èìååò âñåãî 3 íåçàâèñèìûõ êîìïîíåíòû:

                                0          a12    a13 
                     TAS     = − a12        0     a 23 .
                                                       
                                − a13   − a 23    0 
    Ñâîéñòâà ñèììåòðèè èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçî-
âàíèé áàçèñà.
    Ëþáîé òåíçîð Ò ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ñóììû ñèì-
ìåòðè÷íîãî è àíòèñèììåòðè÷íîãî òåíçîðîâ: Ò = ÒS + TAS .

                                   Çàäà÷è
       5.1. Íàéòè ìàòðèöû ïðÿìîãî Ã è îáðàòíîãî Ã-1 ïðåîáðà-
                                                             ρ ρ
              çîâàíèé îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà ( e1 , e2 ) ïðè åãî
              ïîâîðîòå íà óãîë α ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè.
       5.2.   Äîêàçàòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå äâóõ îðòîãîíàëüíûõ ìàò-
              ðèö ÿâëÿåòñÿ òàêæå îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöåé.
       5.3.   Äîêàçàòü, ÷òî det à = ±1, ãäå à — ìàòðèöà ïðåîáðà-
              çîâàíèÿ îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà.
       5.4.   Äîêàçàòü, ÷òî êîýôôèöèåíòû (à1, à2, à3), çàäàþùèå
              ïëîñêîñòü a1x1 + a2x2 + a3x3 = 1, îáðàçóþò òåíçîð 1-ãî
              ðàíãà.
       5.5.   Äîêàçàòü, ÷òî òàáëèöà äåâÿòè êîýôôèöèåíòîâ [aij]
              (i, j = 1, 2, 3), çàäàþùèõ öåíòðàëüíóþ ïîâåðõíîñòü 2-ãî
              ïîðÿäêà   ∑ ∑ a ij xi x j   = 1, îáðàçóåò òåíçîð 2-ãî ðàíãà.
                         i    j



                                      113

Страницы