Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

114
5.6. Ïóñòü â íåêîòîðîì îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå âåêòîð
ρ
x
çàäàí êîìïîíåíòàìè (x
1
, x
2
, x
3
). Äîêàçàòü, ÷òî ÷èñëà
a
ij
=x
i
x
j
(i, j = 1, 2, 3) îáðàçóþò òåíçîð 2-ãî ðàíãà.
5.7. Ïóñòü â íåêîòîðîì îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå âåê-
òîðû
ρρ
x и y
çàäàíû êîìïîíåíòàìè (x
1
, x
2
, x
3
) è (y
1
, y
2
, y
3
).
Äîêàçàòü, ÷òî ÷èñëà a
ij
=x
i
y
j
(i, j = 1, 2, 3) îáðàçóþò
òåíçîð 2-ãî ðàíãà.
5.8. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè
ρ
ρ
ρ
abи c,
— âåêòîðû, òî 3
3
=27
÷èñåë d
ijk
=a
i
b
j
c
k
(i, j, k =1,2,3) îáðàçóþò òåíçîð 3-ãî
ðàíãà.
5.9. Äîêàçàòü, ÷òî êîìïîíåíòû åäèíè÷íîãî òåíçîðà [δ
ij
]
íå ìåíÿþòñÿ ïðè ïîâîðîòå îðòîíîðìèðîâàííîãî áà-
çèñà, ò. å. ÷òî δ´
ij
=δ
ij
.
5.10. Äîêàçàòü, ÷òî êîìïîíåíòû ñôåðè÷åñêîãî òåíçîðà [λδ
ij
]
èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ïîâîðîòîâ áàçèñà.
5.11. Äîêàçàòü èíâàðèàíòíîñòü ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ
()
ρρ
xy⋅
â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå.
5.12. Ïîêàçàòü, ÷òî ëþáîé òåíçîð 2-ãî ðàíãà Ò ìîæåò áûòü
ïðåäñòàâëåí â âèäå ñóììû ñèììåòðè÷íîãî Ò
S
è àí-
òèñèììåòðè÷íîãî Ò
AS
òåíçîðîâ.
5.13. Òåíçîð 2-ãî ðàíãà Ò çàäàí ìàòðèöåé
[] .a
ij
=
123
456
789
Ðàçëîæèòü åãî íà ñèììåòðè÷íûé Ò
S
=[b
ij
] è àíòè-
ñèììåòðè÷íûé Ò
AS
=[c
ij
] òåíçîðû.
5.14. Äîêàçàòü, ÷òî ñâîéñòâî ñèììåòðèè òåíçîðà èíâàðè-
àíòíî îòíîñèòåëüíî ïîâîðîòîâ áàçèñà, ò. å. åñëè, íà-
ïðèìåð, òåíçîð Ò ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íûì â áàçèñå
(, ,)
ρρρ
eee
123
, òî îí ñèììåòðè÷åí â ëþáîì äðóãîì îð-
òîíîðìèðîâàííîì áàçèñå.
 5.6. Ïóñòü â íåêîòîðîì îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå âåêòîð
        ρ
        x çàäàí êîìïîíåíòàìè (x1, x2, x3). Äîêàçàòü, ÷òî ÷èñëà
      aij = xixj (i, j = 1, 2, 3) îáðàçóþò òåíçîð 2-ãî ðàíãà.
 5.7. Ïóñòü â íåêîòîðîì îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå âåê-
              ρ ρ
        òîðû x и y çàäàíû êîìïîíåíòàìè (x1, x2, x3) è (y1, y2 , y3).
        Äîêàçàòü, ÷òî ÷èñëà aij = xi yj (i, j = 1, 2, 3) îáðàçóþò
        òåíçîð 2-ãî ðàíãà.
                                 ρ ρ ρ
 5.8. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè a , b и c — âåêòîðû, òî 33 = 27
        ÷èñåë dijk = ai bj ck (i, j, k = 1, 2, 3) îáðàçóþò òåíçîð 3-ãî
        ðàíãà.
 5.9.   Äîêàçàòü, ÷òî êîìïîíåíòû åäèíè÷íîãî òåíçîðà [δij]
        íå ìåíÿþòñÿ ïðè ïîâîðîòå îðòîíîðìèðîâàííîãî áà-
        çèñà, ò. å. ÷òî δ´ij = δij .
5.10.   Äîêàçàòü, ÷òî êîìïîíåíòû ñôåðè÷åñêîãî òåíçîðà [λδij]
        èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ïîâîðîòîâ áàçèñà.
5.11.   Äîêàçàòü èíâàðèàíòíîñòü ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ
          ρ ρ
        ( x ⋅ y) â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå.
5.12.   Ïîêàçàòü, ÷òî ëþáîé òåíçîð 2-ãî ðàíãà Ò ìîæåò áûòü
        ïðåäñòàâëåí â âèäå ñóììû ñèììåòðè÷íîãî ÒS è àí-
        òèñèììåòðè÷íîãî ÒAS òåíçîðîâ.
5.13.   Òåíçîð 2-ãî ðàíãà Ò çàäàí ìàòðèöåé

                                 1 2 3
                     [ a ij ] =  4 5 6.
                                        
                                 7 8 9
      Ðàçëîæèòü åãî íà ñèììåòðè÷íûé ÒS = [bij] è àíòè-
      ñèììåòðè÷íûé ÒAS = [cij] òåíçîðû.
5.14. Äîêàçàòü, ÷òî ñâîéñòâî ñèììåòðèè òåíçîðà èíâàðè-
      àíòíî îòíîñèòåëüíî ïîâîðîòîâ áàçèñà, ò. å. åñëè, íà-
      ïðèìåð, òåíçîð Ò ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íûì â áàçèñå
          ρ ρ ρ
        ( e1 , e2 , e3 ) , òî îí ñèììåòðè÷åí â ëþáîì äðóãîì îð-
        òîíîðìèðîâàííîì áàçèñå.




                             114

Страницы